Author: Eiko

Tags: Algebra, Group, Ring, Module, Field, Linear Algebra, Symmetry, Group Action, Group Representation, Sylow's Theorem, Commutative Algebra, PID, Number Theory, Vector Space, Jordan Canonical Form, Classification of Linear Endomorphisms, Tensor Product, Dual Space

Time: 2024-12-07 04:00:00 - 2024-12-07 04:00:00 (UTC)

本书的目的是带领读者了解并理解群，环，模等代数结构。本书希望以原理性的方式讲述，使读者明白基本的原理，并能理解整个理论，而不是完全的平铺直叙。其中穿插了许多练习，可以帮助读者熟悉概念并检查自己的理解。有一定难度的问题我们用难度星级\(\bigstar\) 标示出来了，\(\bigstar\)的个数代表它们的难度(难度分为0,1,2,3,4,5星)。\(0\)星的题目都是可以立即想出来的，读者看几眼就能知道答案的那种。看到\(0\)星题目时一定要立即想一想，这可以用于检查对概念的理解，想不出来就应该回顾前面的内容。有些练习事实上是简单而有一定重要性或有用的结论，读者通过自己的思考，可以对它们有更好的理解和印象。

最后更新：2024年2月12日

对称现象与群

认识对称

在浩瀚无边的宇宙中，存在着无数缤纷复杂的对称现象。对称这个词我们不陌生，比如我们常说圆既是个轴对称图形，又是个中心对称图形，它还是“旋转”对称的；（等边）三角形是轴对称的，它有三条对称轴，不仅如此，事实上我们感觉到：三角形从三个不同的方向看过去，是一样的，这似乎也是一种对称性……那么什么是对称呢？

我们需要把对称现象作一个高度的概括。不难发现，可以以一种统一的方式来重新理解上面的几个例子：对圆作对称轴反射变换、旋转变换，或者是中心对称变换，即映射\((x,y)\mapsto(-x,-y)\)，整个圆又回到了原来的样子。对（等边）三角形作对称轴反射变换、\(120\)度旋转变换，三角形没有发生变化。

于是我们可以说，所谓某个对象的某种对称，就是指某种变换（映射），它保持整个对象不变。但是一般来说，这种变换要有所限制，通常是只考虑从某个大的比较正常/自然的映射空间中选取一些保持它不变的映射。不能是太烂的映射，要不然可选的映射太多了。对于这整个三角形来说，我们所考虑的仅仅是把它看做不可切割的刚体的变换，那些会割裂三角形的映射按照这种说法也可以看成某种对称，但是我们不予考虑。在这种考虑下，一个（等边）三角形的对称事实上只需要看它的三个顶点1,2,3如何运动。比如\((1,2,3)\mapsto(2,3,1)\)的变换就是某种旋转，而\((1,2,3)\mapsto(1,3,2)\)则是某种轴对称。

对称的本质属性

我们现在用数学抽象的记号来书写我们刚才的讨论。我们首先有一个可能具有某些对称性的对象\(X\)，在上面有一些对称，也就是一些变换\(T_1,T_2,\dots\)。 它们作用在\(X\)上使整个\(X\)不变，也就是说 \[T_i(X)=X.\] 一个自然的道理是任何对象都有一种对称，其实就是啥也不干。这个啥也不干的恒等映射我们记作\(1\)。这是对称的本质属性之一。 既然是变换（映射）的话，它们之间必然可以复合，复合运算也必然满足结合律。我们很容易发现，对称之间的复合一定也是对称。用稍微抽象一点的语言来说，这个朴素（这是对称的本质属性之二）的道理就是 \[T_i\circ T_j(X)=T_i(T_j(X))=T_i(X)=X\] （后面的大部分时间里，我们将省略复合的符号\(\circ\)，直接写成\(T_iT_j\).）这个简单的式子说明如何用两个对称来“制造”新的对称：把它们复合起来一定还是\(X\) 的对称！作为最简单的例子，我们还是可以考察一下等边三角形。我们知道，旋转120度的变换可以作用两次，即\(\sigma\circ\sigma=\sigma^2\)，这事实上是某种旋转240 度的变换。作用三次，这事实上就相当于什么也没干。不妨用\(\sigma\) 来表示旋转（不妨说是逆时针）120度的变换，我们已经发现\(\sigma\circ\sigma\circ\sigma=1\)即单位映射，这也就是 \[\sigma^3=1\] 值得注意的是，就像映射的复合不一定交换一样，没有任何理由表明对称的复合一定会交换，即不一定有\(T_iT_j=T_jT_i\)。对称还有一种本质属性。那就是每一种对称变换一定可以反过来进行！也就是任意一种对称\(T\)，有一种对应于它的反对称，我们把它记作\(T^{-1}\)，称它为\(T\) 的逆，使得\(T^{-1}\circ T=1\)。 互逆是相互的关系，你是我的逆，我也是你的逆，所以必须也有\(T\circ T^{-1}=(T^{-1})^{-1}\circ T^{-1}=1\)。 比如说\(\sigma\) 的反操作就是顺时针旋转120 度。而这事实上与\(\sigma^2\)无异，这一点可以通过对式子\(\sigma^3=1\)两边同时复合一个\(\sigma^{-1}\)看出来： \[\sigma^{-1}\sigma^3=\sigma^{-1}=\sigma^2.\] 如果我们用\(S(X)\)来表示\(X\)上的所有对称变换的集合的话，以上讨论就是说：

1. \(1\in S(X).\)

2. \(a,b\in S(X)\Rightarrow ab\in S(X).\)

3. \(a(bc)=(ab)c\).

4. \(a\in S(X)\Rightarrow\)存在\(a\)的逆\(b\in S(X), ab=ba=1.\)

事实上，我们把这样一个集合\(S(X)\)称为群，即\(X\)的对称群。

等边三角形的对称群

等边三角形的对称，有旋转，也有轴对称，事实上它有三种不同的轴对称，不妨记其中以纵轴为对称轴的反射变换是\(\tau\)。也有两种不同的旋转\(\sigma,\sigma^2=\sigma^{-1}\) （一个逆时针转120度，一个顺时针转120度），还有一个啥也不干的对称\(1\)。如前，我们以1,2,3记三角形的三个顶点（不妨把等边三角形平放，上面的顶点定为1，右下的为2，左下的为3）。那么每一个对称事实上都是一个从\(\{1,2,3\}\)到\(\{1,2,3\}\)的映射\(f\)。别忘了，作为一个对称，\(f\)需要有逆，所以\(f\) 得是单满射。这样的\(f\)有多少个呢？这只需要决定\(f(1),f(2),f(3)\)的值就好了。一共有6种可能的排列，所以三角形上最多只能有6个对称！那实际上它有多少个呢？每一个这样的\(f\)都是三角形的一个对称吗？的确是！我们将用如下记号 \[\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ a & b & c \\ \end{array} \right)\] 来表示把1映到\(a\)，把2映到\(b\)，把3映到\(c\)的映射。很容易发现 \[\sigma=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ \end{array} \right) \quad \tau=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \\ \end{array} \right)\] 别忘了我们说过，对称变换可以复合，我们试着复合一下\(\sigma\)与\(\tau\)，看看会发生什么？通过计算给出 \[\sigma\tau=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ \end{array} \right) \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \\ \end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ \end{array}\right)\] 有趣的是这次复合没有产生新的东西，\(\sigma\tau\)这个对称是另一种轴对称，保持顶点2不变的轴对称。值得注意的是\(\sigma\tau\not=\tau\sigma\)，读者可以验证这一点。 我们可以验证，整个三角形的对称群有如下6个不同的元素：（这刚好构成了{1,2,3}到{1,2,3}的所有单满射。） \[1,\sigma,\sigma^2,\tau,\tau\sigma,\tau\sigma^2\] 这样一个群具有良好的运算性质：有一个恒等元素1、每个元素都有逆、任何两个元素的复合（也称为元素的乘积）仍然属于这个群，也就是乘法运算具有封闭性。事实上，这个群我们一般记作\(D_3\)，叫做二面体群。二面体群这个词事实上包括了一整个系列的群\(D_n\)，\(D_n\)是指作用在正\(n\)边形上的所有对称组成的群。（注：有些书上用\(D_{2n}\)记我们这里的\(D_n\)，这是记号的差别，不幸的是这两种记号都有广泛使用。）

另一个简单的但重要的群的例子：置换群

我们考虑集合\(\{1,2,\dots,n\}\)，我们研究这个集合的对称。作用在上面的变换是啥呢？就是从它到它自身的所有单满射（必须是单满射，因为对称变换要求有逆）。这个群我们记作\(S_n\)，叫做\(n\)元置换群。其间的元素称为置换 \[S_n=\{\text{单满射 }f:\{1,2,\dots,n\}\mapsto\{1,2,\dots,n\}\}.\] 容易知道，\(|S_n|=n!\)。置换群具有基本的重要性，所以对它引入简单而方便的记号是重要的。我们还是以 \[f=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & \dots & n \\ f(1) & f(2) & \dots & f(n) \\ \end{array} \right)\] 表示置换。特别的，我们把如下置换形状的置换 \[\left( \begin{array}{ccccccc} a_1 & a_2 & \dots & a_n & b_1 & \dots & b_k\\ a_2 & a_3 & \dots & a_1 & b_1 & \dots & b_k\\ \end{array} \right)\] 称为轮换，把它记为\((a_1 a_2 a_3 \dots a_n)\)。可以有长度小于\(n\)的轮换，比如\((12)\)表示把1映到2，把2映到1，其它元素不动的轮换。

置换的轮换表示

一个有趣的事实是每个置换事实上都可以用轮换的乘积（复合）表示出来！为了从一个置换得到它的轮换表示，只需要这样操作：它可能把\(a_1\)映到\(a_2\),把\(a_2\)映到\(a_3\)，……这样下去直到又把某个\(a_k\)映回\(a_1\)，我们就找到了一个轮换\((a_1a_2\dots a_k)\)。再从这个轮换没有包含的某一个元素出发，让\(f\) 不停地作用在它身上，直到循环，得到另一个轮换\((b_1b_2\dots b_l)\)，以此类推，我们最终能把该置换的所有元素穷尽，得到 \[f=(a_1a_2\dots a_k)(b_1b_2\dots b_l)\dots\] 并且，表达式中所出现的轮换之间没有公共元素(故此时这些轮换复合(乘积)的顺序不重要)。比如，我们可以得到这个置换的轮换表示： \[\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \\ \end{array} \right)=(14)(23)=(23)(14)\] 只需要发现\(1\mapsto4\mapsto1\),\(2\mapsto3\mapsto2\).

写为不相交的轮换乘积。

对称的本质框架：群

一个群本质上是指作用在某种对称物件\(X\)上的所有对称变换的集合\(S(X)\)，这集合满足如下性质

1. \(1\in S(X).\)

2. \(a,b\in S(X)\Rightarrow ab\in S(X).\)

3. 乘法满足结合律，\(a(bc)=(ab)c\).

4. \(a\in S(X)\Rightarrow\)存在\(a\)的逆\(b\in S(X), ab=ba=1.\)

事实上，抽象地考察群，我们可以发现其运算结构与\(X\)并没有什么关系，其所有运算信息完全包含在了乘法运算里。以上条件是所有对称现象都具有的，为了研究宇宙中所有的对称现象的本质结构，我们不妨去繁就简，作出如下定义

在这个群的定义里我们没有提到任何对称变换，甚至只看这个定义的话看不出来这是要干什么¹，还以为这只是某种运算封闭的集合。群确实也可以代表这种运算封闭的集合，比如说全体整数在加法运算下成群。（事实上，这种运算封闭的集合，比如全体整数在加法下成的群，也是某种对称变换：它是作用在整数集上的所有平移变换。）但请记住群的由来，和群最本质的属性是对称。这样一来，研究了所有群，我们就相当于研究了作用在任何可能的物件/对象上的所有可能的对称。

我们只研究有限群，即元素个数有限的群。我们称一个群的元素个数为这个群的阶数。在第二章我们会为大家证明，对于每个有限群，都可以构造一个对象\(X\)，使得这个群恰好是该对象的对称群，也即，每个群都是对称群。所以说群的本质是对称：群即对称，对称即群！

群的一些例子

除了我们已经介绍的\(S_n\)与\(D_n\)以外，还有一些简单的群。 最简单的群的例子应该是\(\mathbb{Z}\)，即全体整数在加法下组成的群，我们可以把这个群想象成全体整数的平移对称群。容易验证，全体偶数在加法下也成群。事实上，全体\(n\)的倍数在加法下都能组成群（因为\(n\)的倍数在加法下封闭）。

如果我们把\(D_n\)中的所有旋转\(\{1,\sigma,\sigma^2,\dots,\sigma^{n-1}\}\)拿出来单独组成一团，容易验证这也构成一个群（因为旋转之间的复合还是旋转），这种群也是最基本的群之一，我们把它记作\(\mathbb{Z}_n\)，叫它\(n\) 阶循环群²，这是一个Abel群。

关于循环群，事实上还有另一种算术的描述：全体整数按照模\(n\)分成\(n\) 个不同的剩余类，就是按除以\(n\)之后的余数分别为\(0,1,2,\dots,n-1\)划分为\(n\)类。剩余类之间可以进行加法运算，比方说在模\(5\)下，有\(2+4=1\).这样，这些不同的剩余类按加法就组成了一个群，这个群看起来跟之前的\(\mathbb{Z}_n\)好像是不同的，因为一个是旋转变换\(\{1,\sigma,\sigma^2,\dots,\sigma^{n-1}\}\)，一个是剩余类\(\{0,1,2,3,\dots,n-1\}\)。但是不难看出这两个群在结构上没有什么本质上的区别，也即如果我们把剩余类\(k\)与\(\sigma^k\)等同起来，两边进行的任何群运算都是一样的。这也就是说，在一个对应\(f\)下 \[\begin{aligned} f: \{0,1,2,3,\dots,n-1\} &\to \{1,\sigma,\sigma^2,\dots,\sigma^{n-1}\}\\ k &\mapsto \sigma^k \end{aligned}\] 左边的各种运算可以与右边对应的元素的对应运算相对应。这时，我们说这两个群同构。同构的群没有本质的区别，可以视为同一个。关于同构的具体描述将在下一章给出。

本章我们用简单的方法探索群³的基本结构。

元素上的结构信息

元素的阶数

设\(g\in G\)，如果有正整数\(n\)使得\(g^n=1\)，那么我们说\(g\)是有限阶的，把最小的这样的正整数\(n\)称作\(g\)的阶，否则说它是无限阶的。对于有限群\(G\)来讲，任一个元素\(g\in G\)，不停地作乘法，得到序列\(g,g^2,g^3,\dots\) 由于\(G\) 有限，这个序列一定会重复，不妨设\(g^k=g^l,k>l\)，那么有\(g^{k-l}=1\)。 也即有限群中任何元素都是有限阶的。

在Abel群中，如果已知\(a,b\)的阶数，那么\(ab\)的阶数就被约束住了。

值得注意的是，对于非Abel群，仅仅已知\(a,b\)的阶数是不能得到与\(ab\) 阶数有关的任何信息的，可以证明存在群使得\(ab\)的阶数取到任意给定的正整数。我们举个例子，在\(S_5\)中，令\(a=(12)(34),b=(135)\)则\(ab=(14352)\)是五阶的。

子群与商结构

不难发现，\(D_6\)，即正六边形的对称群，里面也包含了正三角形的所有对称！比方说旋转\(120\)度的对称，这个在正六边形的对称群里也有。三角形的三条轴对称也构成正六边形的三条轴对称，当然正六边形有更多轴对称（反射对称）。这种时候我们说\(D_3\)是\(D_6\)的子群⁴。数学的历史告诉我们，研究一个结构的子结构是重要的：我们作出如下定义

我们有很多子群的例子，比方说全体偶数的加法群\(2\mathbb{Z}\)就是\(\mathbb{Z}\)的一个子群。再比如说，\(\mathbb{Z}_6=\{1,\sigma,\sigma^2,\sigma^3,\sigma^4,\sigma^5\}\)有子群\(\{1,\sigma^2,\sigma^4\}\) 和子群\(\{1,\sigma^3\}\)，其实就是\(\mathbb{Z}_3\) 和\(\mathbb{Z}_2\).

陪集与拉格朗日定理

设\(G\)是一个群，给定了它的一个子群\(H\le G\)后，我们可以在群\(G\)上规定一个等价关系： \[a\sim b\Leftrightarrow a^{-1}b\in H.\] 由于\(H\)本身是个群，容易验证这样确实定义了一个等价关系⁵，按照这个等价关系，整个群\(G\) 划分成一些不相交的等价类的并。容易发现，与\(b\)等价的元素的全体就是\(bH\)，因为\(b\sim a\Leftrightarrow b^{-1}a\in H\Leftrightarrow a\in bH\). 这样，所有的等价类都形如\(bH\)，并且它们的大小相等，都是\(|bH|=|H|\). 我们称形如\(bH\) 这样的子集叫做\(G\)关于\(H\)的左陪集，简称陪集⁶。我们以\([G:H]\) 记这个等价关系下，等价类的个数，也即陪集的个数，称它为子群\(H\)的指数(index).我们有 \[G=\bigcup_{i=1}^{[G:H]}b_iH\] 由于不同的等价类不相交，那么我们已经得到了

通过连续运用陪集分解，我们可以得到

这个定理还表明，子群的阶数一定是\(|G|\)的因数。比方说，借助拉格朗日定理，我们就能知道\(12\)阶群一定没有\(5\)阶子群。

商群与正规子群

就像线性空间(向量空间)可以对子空间构作商空间一样，群也存在商结构。

给定\(H\le G\)，我们试图把陪集集合\(G/H=\{H,b_1H,\dots,b_{k-1}H\}\) 看成一个群，我们所期望的群运算是这样的： \[\forall a, b\in G\quad (aH)(bH)=(ab)H\] 不幸的是，对于某些子群\(H\)，这个等式不成立。也就是说，不是所有子群都可以用来构作商群\(G/H\)。我们作如下推理： \((aH)(bH)=(ab)H\Leftrightarrow HbH=bH\Leftrightarrow (b^{-1}Hb)H=H\Leftrightarrow b^{-1}Hb\subset H\),而对所有\(b\)都满足\(b^{-1}Hb\subset H\)等价于对所有\(b\)都满足\(b^{-1}Hb=H\). 所以，若要构作商群\(G/H\)，子群\(H\)必须满足条件：\(\forall b\in G, b^{-1}Hb=H\)，这引出如下定义：

值得注意的是，正规子群不具有传递性，即\(A\triangleleft B\triangleleft C\)推不出\(A\triangleleft C\).反例将在后面的学习中给出。

子群之间的乘积

设\(N,H\le G\).我们记集合 \[NH=\{nh|n\in N,h\in H\}\subset G.\] 这个集合在大群\(G\)赋予的运算下，能成一个群吗？答案是不一定。但是当\(N\)或\(H\)至少有一个是正规子群时这是对的。不妨设\(N\triangleleft G\)，我们计算 \[n_1h_1n_2h_2=n_1(h_1n_2h_1^{-1})h_1h_2\in NH\] \[(n_1h_1)^{-1}=(h_1^{-1}n_1^{-1}h_1)h_1^{-1}\in NH\] \[1\in NH\] 而群\(NH\)的结合律也以从大群中的结合律遗传过来，因而此时\(NH\)构成子群。

另外，就算\(N\),\(H\)中没有一个是正规子群，通过运用陪集分解的方法我们仍然能够计算集合\(NH\)中的元素个数。

群映射

线性空间之间的映射一般只考虑与其线性结构有关的线性映射。而群与群之间的映射也是这样，一般只考虑与其群结构有关的群映射，我们要找的这群映射便是群同态。

值得注意的是，在等式\(f(ab)=f(a)f(b)\)中，\(ab\)所用的是群\(G\)中的乘法运算，而\(f(a)f(b)\)处所用的是群\(H\)中的乘法运算。

值得注意的是\(\ker f\)和\({\rm Im}f\)分别是\(G\)和\(H\)的子群，而且事实上有\(\ker f\triangleleft G\).

简单重要而典型的群映射

单同态

最简单的群映射应该属于单同态。一个单同态\(f:H\to G\)本质上是把\(H\) 给对应到了\(G\)中的一个子群\(f(H)\le G\)，而\(f(H)\)与\(H\)是同构的。换而言之，单同态就是把\(H\)以同构的方式“塞”进了\(G\).

投射与同态的分解

另一种简单而重要的映射是投射。 我们说过，对于群\(G\)的正规子群\(N\)，可以构作商群\(G/N\).我们可以考虑一种把\(G\)中的元素\(g\)对应到\(G/N\)中\(g\)所在的陪集的自然的映射 \[\begin{aligned} p: G &\to G/N\\ g &\mapsto gN \end{aligned}\] 这个映射显然是同态，因为\(p(ab)=abN=aNbN=p(a)p(b)\).而且还是满同态。那它的核是什么呢？回忆商群\(G/N\)中的单位元素就是\(N\)，也即\(G\) 中的单位元素所在的陪集，因此\(p(a)=aN=N\Leftrightarrow a\in N\)，我们得出\(\ker p=N\).

投射的重要性和基本性在于，对于任何同态\(f:G\to H\) 我们去考虑这个同态的\(\ker f\).一件值得注意的事情是，\(a^{-1}b\in\ker f\)等价于说\(f(a^{-1}b)=1\Leftrightarrow f(a)=f(b)\).换而言之，若是把\(G\)对\(\ker f\)作商群(也即陪集分解)，每个陪集\(b\ker f\)的中的元素都被\(f\)映射到同一个\(f(b)\)，而不同的陪集一定被映射到了不同的元素(因为只要两个陪集\(a\ker f\)和\(b\ker f\)被映射到了相同的元素，就有\(f(a^{-1}b)\in \ker f\Leftrightarrow a\ker f=b\ker f\)).既然\(a\ker f\)中所有元素都被映为同一个\(f(a)\)(给我们一种浪费的感觉)，不如定义一个新映射，把\(a\ker f\)视为商群中\(G/\ker f\)的一个元素，让它对应到\(f(a)\).

换而言之，我们发现，任何具有\(\ker f\)的同态\(f:G\to H\)都可以分解成两个映射的复合： 这个图的意思就是我们可以将映射\(a\mapsto f(a)\)对应成两步：\(a\mapsto a\ker f\mapsto f(a)\).第一步是将\(a\)对应到它所在的陪集\(a\ker f\)(即从\(G\)向\(G/\ker f\) 的自然投射)，第二步是将\(a\ker f\) 映射到\(f(a)\).唯一可能存在的问题是第二步映射是不是一个同态？答案是是。验证这一点是极为容易的。任何群映射可以分解成两种基本映射的复合：即一个投射，和一个单同态的复合。顺便，事实上我们可以在这个基础上再加一步，也是最水的一步：\(a\mapsto a\ker f\mapsto f(a)\mapsto f(a)\),也即先将\(f(a)\)映入\(H\)的子群\({\rm Im}f\)，再将\({\rm Im}f\)通过平凡单射对应到\(H\). 这样，第二步\(G/\ker f\to a\ker f\mapsto f(a)\)就是一个同态且是单满射，因此是同构。于是我们得出，我们得出了如下重要的定理：

同构定理

同态基本定理又叫第一同构定理。由同态基本定理我们很容易导出许多同构定理，它们和我们在线性代数中学过的同构定理是类似的。

下面的这个对应定理是基本的，它描述了\(G/N\)的子群与\(G\)的包含了\(N\)的子群存在着对应关系

循环群，生成元与群的表现

循环群是最简单、最基本的一类群，但仍然十分重要。循环群\(\mathbb{Z}_n\)有多种描述方法，比如可以描述成正\(n\)边形的旋转变换群，也可以描述成模\(n\)的余数类的加法群。循环群的本质特点是，它可以仅由一个元生成。这就是说，可以找到其中一个元素\(a\)，通过不断的作逆\(a^{-1}\)和乘法\(1,a,a^2,a^3,\dots\)可以得到群\(G\) 中的所有元素。我们把话说得更明白一点：

按照这个定义，除了有限循环群\(\mathbb{Z}_n\)以外，可以有无限循环群，而那本质上就是\(\mathbb{Z}\).

于是，循环群\(\mathbb{Z}_n\)可以想象成一个由抽象字母\(a\)生成的，满足关系\(a^n=1\)的群，这种用生成元与约束关系描述群的方法叫做群的表现，这个例子我们记作 \[\mathbb{Z}_n=\langle a|a^n=1\rangle.\]

本节的描述算是启发性，非正式的。我们今后会严格地对待这种群的表示方法。

\(n\)阶循环群有多少个生成元？问题的答案是明显的，设\(a\)是一个生成元，则\(a^i\)是生成元当且仅当\(i\)与\(n\)互质。也就是说，一共有\(\varphi(n)\)个生成元，这里\(\varphi(n)\)表示\(1\)到\(n\)中与\(n\)互素的数的个数，也即数论中的欧拉函数。关于这个欧拉函数，有一个有趣的恒等式 \[\sum_{d|n}\varphi(d)=n\] 其中符号\(d|n\)表示\(d\)整除\(n\), 求和号\(\sum_{d|n}\)表示对\(n\)的所有正因数\(d\)求和。这个等式可以由如下观察得出：对于每一个\(d|n\),循环群\(\mathbb{Z}_n\)中有且仅有一个\(d\)阶子群，而这\(d\)阶子群的生成元有\(\varphi(d)\)个。每个\(g\in\mathbb{Z}_n\)都恰好是某一个\(\mathbb{Z}_d\)的生成元。

关于循环群，有一个刻画了循环群的性质的重要命题：

置换群与共轭

置换群是有限群中最重要的一类群，说是最基本也不为过，原因是：置换群事实上包含了所有的有限群，即任何有限群都是置换群的某个子群！(这一点我们将在后面给出)

置换的结构与共轭

置换群的基本要素当然是置换。对于置换来说，置换的(不相交的)轮换分解最能体现出它的结构。我们知道，每个置换都有一个不相交轮换的乘积分解，而且可以有很多轮换分解，但事实上，其中那个置换的不相交轮换分解在不记轮换之间的次序之下是唯一的。这一点比较直觉，证明只需用归纳法，没有太多可说的。

于是每个置换都有一种唯一的轮换结构，比如说\((123)(45)\)和\((234)(15)\)具有相同的轮换结构，只是数字不同而已。我们说它们的轮换结构是\(2\cdot 3\).类似的，设\(\alpha\)的轮换分解中长度为\(k\)的轮换有\(m_k\)个，则我们说它的轮换结构是\(2^{m_2}\cdot 3^{m_3}\dots k^{m_k}.\)

具有相同的轮换结构就像是矩阵具有完全相同的约当块一样，可以通过“换基”来实现“相似”，比如 \[(123)(45)=\sigma^{-1}(234)(15)\sigma\] 其中\(\sigma=(14).\)这种现象我们称之为共轭：

作为给大家看的一个例子，我们证明一个有用的命题。

那么，既然共轭是一个群上的等价关系，群中的元素自然就会划分为一些等价类，这些等价类就称作共轭类。一般来说，群的共轭类的情况比较复杂，但是对于\(S_n\) 情况比较简单。

容易看出，一个群\(G\)的子群\(H\)若是正规子群的话，那\(H\)一定是由一些完整的共轭类拼成的。反之，把一些共轭类拼起来，如果恰好也成一个子群的话，这个子群就是正规子群。

置换的奇偶性

置换有奇置换和偶置换之分，用符号\({\rm sgn}\sigma\)来表示：奇置换是\(-1\),偶置换是\(1\).置换的符号\({\rm sgn}\sigma\)我们并不陌生，在线性代数中已经碰过了，它可以定义为\(-1\) 的逆序数次方，也可以定义为使如下等式成立的函数。 \[\prod_{1\le i\le j\le n}(X_{\sigma(j)}-X_{\sigma(i)})={\rm sgn}\sigma\prod_{1\le i\le j\le n}(X_j-X_i).\] 任何置换都可以分解成对换的乘积，这是因为任何轮换都能分解成对换的乘积，即\((12\dots k)=(1k)(1,k-1)\dots(13)(12)\)，我们还可以定义置换的符号为可分解成的对换的个数的奇偶性，可以证明，置换的任何对换分解的对换的个数的奇偶性不变。 按照这种说法，一个对换\((12)\)是奇置换，奇数长度的对换如\((123),(12345)\)都是偶置换。

我们将给出另外一种定义，我们先解释一下这个定义是怎么来的。我们知道，每个置换\(\sigma\in S_n\)都有一个唯一的不相交轮换分解，如果把被它固定的元素\(c\) 视为长度为\(1\) 的轮换\((c)\)，我们以\(t\)记该置换的不相交轮换分解中轮换的个数，包括长度\(1\)的轮换。那么定义 \[{\rm sgn}\sigma=(-1)^{n-t}.\] 首先，对恒等置换，\(t=n\)，因此\({\rm sgn}1=1\).对于轮换\((12\dots k)\)，\(t=n-k+1\), 故\({\rm sgn}(12\dots k)=(-1)^{k-1}\).而\(n-t\)事实上是对每一个轮换的长度\(l\) 减去\(1\)后再求和，其奇偶性将与轮换分解中奇置换的个数有关。 麻烦的地方是，我们需要证明这是一个同态。直接证明并不容易，所以我们走稍微简单一点的路线：即证明对任意对换\(\tau\)有\({\rm sgn}(\tau\sigma)={\rm sgn}(\tau) {\rm sgn}(\sigma)=-{\rm sgn}(\sigma)\).

同态\({\rm sgn}\)的核我们记作\(A_n\),称作\(n\)元交错群，也就是全体偶置换组成的群。作为一个推论，\(A_n\triangleleft S_n\).

直积

我们可以用老群来构造新的群，一种非常简单的构造就是直积。设\(G_1,G_2\)都是群，我们要赋予笛卡尔乘积\(G_1\times G_2\)群的结构，最简单的方法就是把它的乘法定义为分量乘法，即 \[(g_1,g_2)(h_1,h_2):=(g_1h_1,g_2h_2).\] 这样一来群中的幺元素就是\((1,1)\),\((g,h)\)的逆就是\((g^{-1},h^{-1})\).这个群我们就记作\(G_1\times G_2\).如果\(G_1,G_2\)都是Abel群，有时这个构造记为直和\(G_1\oplus G_2\)，群运算用加号代替。

群的作用

基本术语

群本质上是对称群/变换群/作用群的抽象结构。本章我们就来研究群的作用，即将抽象的群的元素实现为具体的变换/作用。比方说，循环群这种对称结构如何作用在各种对象上？我们知道，它可以实现为正多边形的旋转，即有群同态 \[\mathbb{Z}_n\to\{\text{正$n$边形的旋转群}\}\] 其中\(\mathbb{Z}_n\)的生成元被映射到某个单位旋转。也可以这样描述这种作用：将正\(n\)边形的旋转理解为顶点集\(\{1,2,\dots,n\}\)上的一个置换，从而得到(单)同态 \[\mathbb{Z}_n\to S_n\] 其中\(\mathbb{Z}_n\)的生成元被映射到轮换\((123\dots n)\). 我们研究群的尽可能广泛的作用，就是考虑群\(G\)到尽可能大的一类变换群的同态。一般考虑的大的一类变换群主要是两类：置换群和矩阵群。研究到矩阵群的同态的是群的线性表示论(简称群表示论)。我们研究群在集合上的作用时，就主要是研究的到置换群的同态。以\({\rm Sym}(X)\) 记集合\(X\) 上的所有置换⁹，即所有单满映射，称之为\(X\) 的对称群。那么我们称群\(G\) 在集合\(X\) 上的一个作用就是指一个同态(不要求是单同态或满同态) \[\alpha:G\to{\rm Sym}(X).\] 这也称为群\(G\)的一个置换表示，简称表示。也就是说，\(\alpha(g)\)将成为集合\(X\)上的一个变换(置换)，单满射，即\(\alpha(g):X\to X\).这个变换可以作用在\(x\in X\)上得到\(\alpha(g)(x)\)。这种记号比较严格，但过于冗长，给定了同态\(\alpha\)后不妨把\(G\)想象为一堆“算子”，直接用\(gx\)表示\(\alpha(g)(x)\).

我们先来给出群作用基本的术语。如果\(\alpha\)是单同态，就称这个作用是忠实的(faithful)，也就是说，这个作用不会把群中的两个不同元素变成相同的变换。对于\(x\in X\)，集合 \[Gx=\{gx|g\in G\}\] 称为\(x\)的轨道(Orbit)。容易证明，\(a,b\)属于同一个轨道，也就是存在\(g\)使得\(a=gb\),是一个等价关系，这一点与\(G\)是群密切相关。如此而来，\(X\)中的元素划分为一些不相交的等价类的并，也就是不相交的轨道的并。如果\(X\)只有一个轨道，我们就称这个作用是传递的(transitive)，这也就是说，任何一个\(x\) 都可以被\(G\) 中的某一个作用映到任何一个给定的\(y\).

轨道公式

既然\({\rm Stab}(x)\)是个子群，我们就可以作陪集分解 \[G=\bigcup_{i}g_i{\rm Stab}(x)\] 其中，每个陪集在\(x\)上的作用全部一致，都是\(g_ix\).并且不同的陪集显然给出在\(x\)上不同的作用，否则\(ax=bx\Leftrightarrow a^{-1}b\in{\rm Stab}(x)\Leftrightarrow a{\rm Stab}(x)=b{\rm Stab}(x)\).我们立马得到了如下简单而基本的轨道公式(计算轨道长度)

由于\(X\)划分为一些轨道，我们以\(x_i\)记每个轨道的代表元素，则显然必须有 \[|X|=\sum|\text{轨道}|=\sum_{i}[G:{\rm Stab}(x_i)].\] 不要小瞧这个轨道公式，有了它，我们就有了计算一些对称群的阶数的方法，因为\(|G|=|Gx||{\rm Stab}(x)|\).

另外，我们马上能得到如下计算轨道个数的公式，对\(G\)的任何子集\(S\subset G\)我们引入记号 \[X^S=\{\text{被所有$S$中元素固定的$x\in X$}\}.\] 则我们有

表示的核

我们来求\(\ker\alpha\)，这一般是重要的，因为这样，由同态基本定理，\(G/\ker\alpha\)同构于置换群\({\rm Sym}(X)\)的某个子群。

\(\ker\alpha\)是什么呢？就是那些固定所有元素的\(g\),因此 \[\ker\alpha=\bigcap_{x\in X}{\rm Stab}(x).\] 如果这个作用是传递的，就有 \[\ker\alpha=\bigcap_{g\in G}{\rm Stab}(gx).\] \({\rm Stab}(x)\)与\({\rm Stab}(gx)\)有自然的关系。固定\(x\)的那些变换，稍微改一改，也可以拿去固定\(gx\).这只需要先复合一个\(g^{-1}\),再施加\({\rm Stab}(x)\),再复合\(g\).换而言之我们发现 \[g{\rm Stab}(x)g^{-1}\subset{\rm Stab}(gx).\] 反过来一样有 \[g^{-1}{\rm Stab}(gx)g\subset{\rm Stab}(x).\] 因此我们发现 \[{\rm Stab}(gx)=g{\rm Stab}(x)g^{-1}.\] 因而，在作用是传递的时，有 \[\ker\alpha=\bigcap_{g\in G}g{\rm Stab}(x)g^{-1}.\] 这是一个正规子群。这事实上也启示我们如下平凡的命题：设\(H\le G\)，则\[\bigcap_{g\in G} gHg^{-1}\triangleleft G\]

常见的作用(表示)

群不光可以作用在其它对象上，它很多时候可以自然地作用在自己的某些结构上。在群论的研究中，这是一种极为重要，朴素而强大的方法。我们举几个简单的例子。

共轭作用

群\(G\)以共轭作用作用在群\(G\)上，也即 \[\begin{aligned} \alpha: G &\to {\rm Sym}(G)\\ x &\mapsto (g\mapsto xgx^{-1}) \end{aligned}\]

关于这个作用的轨道就是共轭类，容易看出，作用的核\(\ker\alpha=Z(G)\).对于\(g\in G\),其稳定化子\({\rm Stab}(g)\)我们记作\(C_G(g)=\{h\in G|gh=hg\}\)¹¹,这是\(G\) 的一个子群。我们把这个情形下的轨道方程 \[|G|=\sum_{i}[G:C_G(g_i)]\] 称之为群\(G\)的类方程。值得注意的是，有些元素\(g\in G\)可能轨道长度为\(1\)，也就是只与自己共轭的，中心元素，\(Z(G)\).如果设\(|G|=p^n\)，其中\(p\)是某个素数，则有 \[p^n=|Z(G)|+\sum_{i,g_i\not\in Z(G)}[G:C_G(g_i)]\] 易知\([G:C_G(g_i)]\)必是\(p\)的倍数。故此时的\(|Z(G)|\)必须是\(p\)的倍数，因此\(|Z(G)|>1\).换而言之我们得到了结论

正则表示(作用)

群\(G\)以(左)¹²乘法作用在群\(G\)上，也即 \[\begin{aligned} \alpha: G &\to {\rm Sym}(G)\\ g &\mapsto (a\mapsto ga) \end{aligned}\] 即将\(g\)自然地视为一个\(G\)上的置换\(\alpha(g)\).这是一个忠实表示。

我们马上得出Cayley定理：每个群都同构于某个置换群的子群。这看起来似乎弱智无比，但是就是这样朴素的观点我们可以得到非平凡的结论，我们举一个例子。

诱导表示(陪集上的表示/作用)

给定了群\(G\)的一个子群\(H\)后，有(左)陪集集合\(G/H\)，群\(G\)可以自然地作用在\(G/H\)上。 \[\begin{aligned} \alpha: G &\to {\rm Sym}(G/H)\\ g &\mapsto (aH\mapsto gaH) \end{aligned}\] 这称为(左)诱导表示¹³。它显然是传递的。它的核是 \[\ker\alpha=\bigcap_{g\in G}gHg^{-1}\] 并注意事实上有\(\ker\alpha\triangleleft H\).运用这个表示可以得到很多厉害(其实很简单)的结论。

以下是另外一个典型的应用

循环群的作用：Cauchy定理

本节我们看一个群作用的强大威力的例子，我们证明如下的柯西定理：

在开始看证明之前我们来理解一下思路。\(p=2\)的情形已经作为一道练习题做过了，还记得做法吗？大家的做法，估计就是对\(G\)中的元素配对，\(g\)和\(g^{-1}\)配一对，二阶元素\(g\)和\(g^{-1}\)是相同的，就无法配对，最后因为群的阶数是\(2\)的倍数，配了对的元素个数也是\(2\)的倍数，我们得出满足\(x^2=1\)的元素个数有偶数个。由于\(1^2=1\)，我们知道一定有二阶元素。

不过，这个证明初看起来似乎并不能推广到\(p>2\)的情形。但是，如果你用群与对称的观点重新叙述上面的证明，你马上就可以看出如何作推广。我们要将上述证明中出现的现象理解为一种对称性，那么就一定要有对称变换。我们观察到的现象是什么呢？那就是在所有的有序对\(X=\{(g,g^{-1})|g\in G\}\)集合上，有一种对称变换\((x,y)\mapsto (y,x)\).这就是群\(\mathbb{Z}_2\)在该集合上的作用。那么\(X\)拆分为一些轨道的并。而在该作用下轨道的长度为\(1\)等价于说\(g=g^{-1}\)也就是\(g^2=1\),由轨道方程 \[|X|=|\{(g,g)|g^2=1\}|+\sum|\text{其它长为$2$的轨道}|\] 轨道公式表明轨道的长度只能是\(1\)或\(2\),我们立刻得出\(|\{g|g^2=1\}|\)是\(2\)的倍数。现在，我想，如何推广这个证明已经至为显然。

在子群上的共轭作用

设\(A\le G\)是一个子群，容易发现，\(g^{-1}Ag\)也是一个子群。因为映射\(x\mapsto g^{-1}xg\)是自同构，而自同构限制在子群上还是同构，其像必然为群。我们称子群\(A\)与\(B\)共轭，如果\(A=g^{-1}Bg\).那么容易看出，\(G\)可以以共轭作用作用在它的一些子群上。容易看出，一个子群可以有很多个共轭子群，而\(G\)的正规子群就是那些在\(G\) 的共轭作用下不变的子群，也就是只与自己共轭的子群，这时它单独组成一个共轭类。

对于\(S\subset G\),我们以记号\(N_G(S)\)表示\(\{g\in G|gS=Sg\}\),称为\(S\)的正规化子。容易看出，\(A\le G\)的稳定化子是\(N_G(A)\)，从而有共轭类的大小为 \[[G:N_G(A)].\]

群在计数问题中的应用

如果要给一个立方体的两个面涂上红色，有多少种涂法呢？初看起来似乎有 \[\binom{6}{2}=\frac{6\times 5}{2}=15\] 种涂法，但是事实上很多种涂法都是相同的，它们之间只是差一个旋转而已。换而言之我们发现在对称的物件上涂色，只需考虑该物件的对称群，并让这个群作用在所有可能的涂色集合上。想知道两种涂法是不是一样的，只需看它们在不在一个轨道里。故，若要知道本质上不同的涂色有多少种，只需数轨道的个数就可以了！而Burnside定理提供了一种方案。

我们举一个简单的例子来说明这个方法。考虑这样一个计数问题：在长度为\(n\)的圆圈形项链上染色，有\(c\)种不同的颜色可用。两种染色如果在旋转，翻转(轴对称)下是相同的，则视为一种染色。有多少种不同的染色呢？我们考虑群作用的空间 \[X=\{(a_1,a_2,\dots,a_n)|a_i\text{是$c$种颜色之一}\}\] 并让\(D_n\)以如下方式定义作用在该空间上：

1. \(\sigma (a_1,a_2,\dots,a_{n-1},a_n) = (a_2,a_3,\dots,a_n,a_1)\)

2. \(\tau (a_1,a_2,\dots, a_{n-1},a_n) = (a_n,a_{n-1},\dots, a_2,a_1)\).

容易看出由于\(D_n\)中的元素都能表示为\(\sigma^i\tau^j\)的形式，只需定义\(\sigma,\tau\)在\(X\)上的作用即可。不难验证上述定义确实给出了\(D_n\)在\(X\)上的一个作用(需要验证\(\sigma^n=\tau^2=(\sigma\tau)^2=1\)的作用是平凡的)。那么现在我们的问题就等价于计算\(X\)中的轨道数目\(N\)，由Burnside定理, \[N=\frac{1}{|D_n|}\sum_{g\in D_n} |X^g|.\] 现在来考虑\(X^g\)的大小。首先\(D_n\)可视为\(S_n\)的子群，它事实上是以下标置换的方式作用在\(X\)上。于是可设\(g\in D_n\)在\(S_n\)中的不相交轮换分解： \[g=c_1c_2\dots c_k=(c_{11} c_{12} \dots c_{1l_1})(c_{21} c_{22} \dots c_{2l_2})\dots\] 其中\(c_i=(c_{i1} c_{i2} \dots c_{il_i})\)是一些不相交的轮换，长度为\(l_i\). 比如\(\sigma = (123\dots n)\), \(\tau = (1,n) (2,n-1)\dots\).

如果\(g\)要固定一个\(x\in X\),即\(gx=x\),我们可以得到 \[x=(a_1,a_2,\dots,a_n)= (a_{g(1)},a_{g(2)},\dots, a_{g(n)})\] 即\(a_i = a_{g(i)}\).由\(gx=x\)自然有\(g^kx=x\), 从而\(a_{c_{11}}=a_{c_{12}}=\dots=a_{c_{1l_1}}\).这表明在轮换\(c_1\)的所有分量中对应的位置必须为相同的涂色。类似的，在所有轮换上都能得到相同的结果，从而\(|X^g|=c^{g\text{的轮换个数}}\), 注意考虑轮换时要包含\(1\)轮换.

注意到在\(D_n\)的同一个共轭类中的元素的轮换分解形状是相同的，一般来说只需要找出\(D_n\)中所有共轭类并将其轮换分解算出即可。在本例中，我们可以考虑 \[D_n=\{1,\sigma,\sigma^2,\dots,\sigma^{n-1},\tau\sigma,\tau\sigma^2,\dots,\tau\sigma^{n-1}\}\] 注意到\(\sigma^{j}(\tau\sigma^{i})\sigma^{-j} =\sigma^j\tau\sigma^{i-j} = \tau \sigma^{i-2j}\), 因此当\(n\)为奇数时，所有\(\tau\sigma^i\)都是共轭的，于是与\(\tau\)一样，形如 \[\tau = (1,n)(2,n-1)\dots\left(\frac{n-1}{2},\frac{n+3}{2}\right)\left(\frac{n+1}{2}\right)\] 都有\(\frac{n-1}{2}+1=\frac{n+1}{2}\)个轮换。当\(n\)为偶数时可能分为两个共轭类\(\tau\sigma^{2k+1}\)和\(\tau\sigma^{2k}\), 分别与\(\tau\sigma\)和\(\tau\)一样，分别具有\(\frac{n}{2}\)和\(\frac{n}{2}+1\)个轮换。

对于\(\mathbb{Z}_n\le D_n\)中的元素，\(\sigma^k\)在\(k\)与\(n\)互素时都是长度为\(n\)的轮换。当他们的最大公因数\((k,n)=d\)时，是\(d\)个长度为\(\frac{n}{d}\)的轮换之积。回忆我们之前在循环群一节说过对于\(n\)的因子\(d\), \(\frac{n}{d}\)阶子群\(d\mathbb{Z}_n\le \mathbb{Z}_n\)的生成元，也就是满足\((k,n)=d\)的元素\(\sigma^k\)的个数为欧拉函数\(\varphi\left(\frac{n}{d}\right)\)，于是现在我们可以得出\(N\)的计算公式 \[\begin{aligned} N&=\frac{1}{|D_n|}\sum_{g\in D_n}|X^g|\\ &=\frac{1}{2n}\left(\sum_{k=1}^{n}c^{(k,n)}+1_{2|n}\frac{n}{2}c^{\frac{n}{2}}+1_{2|n}\frac{n}{2}c^{\frac{n}{2}+1}+1_{2|n+1}nc^{\frac{n+1}{2}}\right)\\ &=\frac{1}{2n}\sum_{d|n}\varphi\left(\frac{n}{d}\right)c^{d}+1_{2|n}\frac{c^{\frac{n}{2}}(c+1)}{4}+1_{2|n+1}\frac{c^{\frac{n+1}{2}}}{2}. \end{aligned}\]

Sylow定理

Sylow(西罗)定理可能是初等群论中最重要的一个定理，它也是群的作用的一个精妙的应用。

值得注意的是，一般的\(p\)子群未必是互相共轭的。

就像我们已经看到的那样，Sylow定理经常和共轭作用联合使用，这是因为它们之间有天然的关系：Sylow-\(p\)子群是互相共轭的。除了Sylow定理最常见的数字上的应用必须熟练掌握以外，和共轭作用联合使用往往能得出非平凡的结论。

运用Sylow定理寻找正规子群

寻找正规子群很重要，通常可以用来分类群的结构/证明一个群不是单群。 而Sylow定理一个常见的应用是用Sylow定理来寻找正规子群，以下是利用Sylow定理寻找正规子群的常见的方法。

• 取\(|G|=np^r\)使\(p\)与\(n\)互素, 计算Sylow-\(p\)子群\(P\)的可能个数\(N\),它满足\[\left\{ \begin{array}{c} N\equiv 1\mod p \\ N\text{是$|G|$的因数} \\ \end{array} \right.\]

• 如果\(N=1\)，则由Sylow定理我们知道\(P\triangleleft G\).

• 若\(r=1\), 则可考虑对每个\(r=1\)的素数\(p\),对应的所有\(P\)所占的元素个数至少为\(N(p-1)+1\), 有可能利用这一点说明不可能有这么多Sylow子群。

• 若\(r=2\), 还可考虑两个Sylow子群的交\(H=P_1\cap P_2\), 如果\(|P|^2 > |G|\)则一定有\(|H|=p\)(因为\(|P_1P_2|=|P|^2/|P_1\cap P_2|\)), 并且有\(P_1,P_2\le N_G(H)\) 从而\(G=N_G(H)\), \(H\triangleleft N_G(H)=G\).

• 还可考虑群\(G\)在\(X=\{P_1,P_2,\dots,P_N\}\)上的共轭作用\(\rho:G\to{\rm Sym}(X)\),其核\(\ker\rho\)可能为\(G\)的非平凡正规子群。

运用Sylow定理与共轭作用

如何来综合运用Sylow定理与共轭作用呢？如下引理描述了共轭作用如何与Sylow子群相互作用。

有限生成Abel群的结构

我们来研究所有能被有限个元素生成的Abel群的结构。注意不是所有Abel群都是有限生成的，比如\(\mathbb{Q}\)就无法被其中有限个元素生成。 最简单的有限生成Abel群的例子是所谓\(n\)元自由Abel群\(\mathbb{Z}^n=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\times\dots\times\mathbb{Z}\)，其由\(n\)个元素生成：\(e_1=(1,0,\dots,0), e_2=(0,1\dots,0),\dots,e_n.\)它也可以称为自由\(\mathbb{Z}\)模：\(\mathbb{Z}\)模和Abel群是同一个概念。

设Abel群\(G\)能被其中有限个元素\(g_1,\dots, g_n\in G\)生成，那么可以定义如下群的满同态 \[\begin{aligned} \varphi: \mathbb{Z}^n &\to G\\ \sum_{i=1}^n a_ie_i &\mapsto \sum_{i=1}^n a_ig_i. \end{aligned}\] 那么，根据同态基本定理，就有\(G\cong \mathbb{Z}^n/\ker\varphi\).于是，我们的目标便在于研究，\(\mathbb{Z}^n\)的所有子群长什么样，由此我们可以知道所有可能的商群。

先看\(n=1\)的简单情形，我们知道\(\mathbb{Z}\)的子群只有\(0\)和\(n\mathbb{Z}\)而已，\(n\ge 1\).于是\(\mathbb{Z}\)的非平凡子群都是同构于\(\mathbb{Z}\)的。

我们将在第四章证明如下(本质是线性代数)的重要结果

半直积

半直积是一个群论中常用的重要概念。如果\(N\triangleleft G\), 则可以构作商群\(Q=G/N\).我们可能会想，会不会有\(G\cong N\times Q\)成立？对于绝大部分情形，这是不成立的。例如，读者可以考虑\(G=\mathbb{Z}_4, N = 2\mathbb{Z}_4\)的情形，显然\(\mathbb{Z}_4\not\cong \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2\).

如果\(Q\)能够自然的实现为\(G\)的一个子群，即存在\(Q\le G\)在自然投射\(G\to G/N\)下刚好是同构的，即合成 \[Q\to G\to G/N\] 是同构映射的话，我们可以断言一个稍弱的命题：\(G\)是\(N\)和\(Q\)的半直积，即\(G\cong N\ltimes Q\). 让我们来说明这一点，我们可以从\(N\)和\(Q\)把\(G\)重新构造出来：每个\(g\in G\)在\(Q\)中有一个像\(q\), 那么\(gq^{-1}\in N\), 也就是说，\(g=nq\)，显然这样的表示法是唯一的. 由于\(N\triangleleft G\), \(G=NQ\)上的乘法运算也可以由\(Q\)在\(N\)上的共轭作用恢复出来： \[(n_1 q_1) (n_2 q_2) = n_1 q_1 n_2 q_1^{-1} (q_1 q_2).\] 这启发我们从\(N\)和\(Q\)以及(共轭作用)同态\(\theta:Q\to {\rm Aut}(N)\) 在集合\(N\times Q\)上定义一个如下的群结构： \[(n_1, q_1) (n_2, q_2) = (n_1 \theta_{q_1}(n_2), q_1q_2).\] 群中的幺元是\((1, 1)\)，逆元是\((\theta_{q^{-1}}(n^{-1}), n^{-1})\). 可以验证这样的定义满足结合律，于是\(N\times Q\)在上述乘法下构成一个群，我们记作\(N\rtimes_\theta Q\)，称作\(N\)和\(Q\)的半直积。

我们给出下面一个简单的判别法

值得注意的是，虽然在半直积\(N\rtimes_\theta Q\)中，\(\theta\)的选取有很多种可能，但是不同的选取可能作出同构的群。(事实上，同一个群也有可能有不同的半直积表示。)为了应用中方便看出这些同构的群，我们给出以下两个判别法 来判断\(N\rtimes_\theta Q\cong N\rtimes_{\theta'} Q\).

完全类似的我们有如下命题

\(|G|\le 15\)的所有群

这一节将包含相当多的例子：我们将分类所有阶数不超过\(15\)的群，即在此中找出所有不同构的群。首先，应当注意到，\(p\)是素数时，\(p\)阶群仅有\(p\)阶循环群\(\mathbb{Z}_p\)这一个。于是还剩下\(n=4,6,8,9,10,12,14,15\)这些阶数。我们已经证明\(p^2\)阶群只有两个，\(\mathbb{Z}_{p^2}\)和\(\mathbb{Z}_p^2\).现在考虑如下命题

于是要讨论的主要难点集中在\(n=8,12\)这两个阶数上。

\(8\)阶群的分类

交换的\(8\)阶群只有\(\mathbb{Z}_8\), \(\mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_2\)以及\(\mathbb{Z}_2^3\).下面我们来研究非交换的\(8\)阶群。由Sylow定理可知\(G\)有\(2k+1\)个\(4\)阶子群。不可能有\(5\)个，否则将至少占用\(5\times(4-2)+2=12\)个元素。因此只能有\(1\)个或者\(3\)个。

如果只有一个\(4\)阶子群\(H\triangleleft G\), 必然有\(H\cong \mathbb{Z}_4\),否则若\(H\cong \mathbb{Z}_2^2\), \(G\)中将没有\(4\)阶元素，推出\(G\)的元素都是\(1,2\)阶于是\(G\)是Abel的，这与我们讨论的情况无关。那么现在\(H=\mathbb{Z}_4\).设\(a\in G-H\), 则必然有\(G=\langle a\rangle H\cong \mathbb{Z}_4\rtimes \mathbb{Z}_2\cong D_4\), 共轭作用的非平凡选择只有一种。但实际上\(D_4\)有\(3\)个\(4\)阶子群\(\langle \sigma\rangle, \langle \sigma^2, \tau\rangle, \langle \tau\sigma, \sigma^2\rangle.\)

如果有\(3\)个\(4\)阶子群，注意指数为\(2\)的子群都是正规的。由柯西定理我们任意取一个\(2\)阶元素\(b\)，如果它不属于某一个\(4\)阶子群，\(G\)必然是半直积，于是可能为\(\mathbb{Z}_4\rtimes \mathbb{Z}_2\)，这就是上面的\(D_4\).如果是\(\mathbb{Z}_2^2\rtimes \mathbb{Z}_2=\langle a,b,c|a^2=b^2=(ab)^2=c^2=1, cac^{-1}=b\rangle\)的情况，取\(a=\tau\sigma,b=\tau\sigma^3,c=\tau\)我们发现这还是\(D_4\).

现在设所有二阶元素\(b\)都属于所有\(4\)阶子群，由于这些\(4\)阶子群中至少有一个是\(\mathbb{Z}_4\)(否则\(G\)中只有二阶元素就Abel了)，我们推出只有一个二阶元素\(b\in G\).这将表明所有\(4\)阶子群都是形如\(\mathbb{Z}_4\)的。设\(i,j,k\)是它们分别的生成元，则有\(i^2=j^2=k^2=b\).现在考虑元素\(ij\),它不可能属于\(\langle i\rangle\)或\(\langle j\rangle\), 否则若\(ij = i^k\)就能推出\(j\in \langle i\rangle\)，这将表明\(\langle i\rangle=\langle j\rangle\)，这不可能。于是必有\(ij\in \langle k\rangle -\{b\}\), 如果\(ij=k\)则有\(ijk=b\).如果\(ij=k^{-1}=kb\)，通过重新选择\(k\)为\(k^{-1}\)我们可以化归到上一种情况。这些关系已经决定了群\(G\),我们记这个群为\(Q_8\)，称为四元数群。事实上，这个群正是由四元数体中的\(\{i,j,k\}\)所生成的 \[Q_8=\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}.\] 现在我们来说明\(Q_8\)不同构于\(D_4\)，这只需注意到\(Q_8\)中有\(1\)个二阶元而\(D_4\)中有\(5\)个。

\(12\)阶群的分类

对于\(12\)阶群，Abel群容易看出只有\(\mathbb{Z}_{12},\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_6\)这两个。现在只需考虑非Abel群的情形。对\(G\)用Sylow定理可知，\(G\)有\(1\)个或\(3\)个正规的四阶子群\(H\), 还有\(1\)个或\(4\)个三阶子群\(K\).现在可以看出\(G=H\rtimes K\cong H\rtimes_\theta \mathbb{Z}_3\), 其中\(H\cong \mathbb{Z}_4\)或者\(\mathbb{Z}_2^2\)并且\(\theta:\mathbb{Z}_3\to {\rm Aut}(H)\)考虑为非平凡同态(平凡同态则得到直积，就是我们提到的两个Abel群了)。

先假设它有一个正规的\(4\)阶子群\(H\). 若\(H=\mathbb{Z}_4\), 考虑\(\theta:\mathbb{Z}_3\to {\rm Aut}(\mathbb{Z}_4)\cong \mathbb{Z}_2\)，则\(\theta\)必然是平凡的。

若\(H=\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2\), 我们知道\({\rm Aut}(H)\cong S_3\)是\(H\)中\(3\)个\(2\)阶元的置换群，则考虑映射\(\theta:\mathbb{Z}_3\to {\rm Aut}(H)=S_3\)映到\(S_3\)的唯一一个三阶子群\(A_3\cong \mathbb{Z}_3\). 于是\(\theta\)可看成\(\mathbb{Z}_3\to A_3\cong\mathbb{Z}_3\)的同构，从而不同的\(\theta\)选取只差一个\({\rm Aut}(\mathbb{Z}_3)\)中的元素，由\(Q\)的对称引理可知它们导出的群\(G=\mathbb{Z}_2^2\rtimes \mathbb{Z}_3\)是同构的。事实上，这个群并不是陌生的新群。

现在来考虑它有\(3\)个\(4\)阶子群的情形，由于这\(3\)个四阶子群必定占掉\((4-2)\times 3+1=7\)个元素，因此不可能有\(4\)个\(3\)阶子群，因为\(4\)个\(3\)阶子群将至少占去\((3-1)\times 4 + 1 = 9\)个元素。我们推出此时只能有一个\(3\)阶子群\(K\)，因而它是正规的。 若\(H=\mathbb{Z}_4\), 只有一种非平凡的半直积\(\mathbb{Z}_3\rtimes \mathbb{Z}_4\).

如果\(H=\mathbb{Z}_2^2\), 那么\(\theta:\mathbb{Z}_2^2\to {\rm Aut}(Z_3)\cong \mathbb{Z}_2\).容易看出只有三种非平凡的映射\(\theta\)可以选取。但这三种选取只相差\(\mathbb{Z}_2^2\)的一个自同构，于是决定了相同的群 \(\mathbb{Z}_3\rtimes \mathbb{Z}_2^2\).事实上它就是\(D_6\).

现在我们来证明\(\mathbb{Z}_3\rtimes \mathbb{Z}_4\)既不是\(D_6\)也不是\(A_4\).由于\(A_4\)中没有\(3\)阶的正规子群，\(\mathbb{Z}_3\rtimes \mathbb{Z}_4\)不可能同构于\(A_4\).而\(D_6\)中没有\(4\)阶元素，所以也不可能同构于它。

小阶群表

将我们的讨论以表格的形式总结起来，我们有如下所有不超过\(15\)阶的群的表格

环与域

定义和例子

从运算的角度讲，群是一个带有“乘法运算”的集合。当这个群是交换群时，这个运算通常写作加法。如果我们在集合上考虑加法与乘法两种运算呢？比如\(\mathbb{Z}\)在加法下是一个Abel群，但同时还有乘法的结构。这是一种新的代数结构，叫做环。当然环上的加法和乘法不能随便给定，它们需要互相兼容，满足一些合理的运算性质。完整的定义如下

值得注意的是在环的定义中我们不要求乘法一定是交换的，我们只要求加法一定是交换的。如果乘法还具有交换律，我们就把\(R\)称为交换环。

在环中，非零元素不一定有乘法逆。如果非零元素\(r\in R\)有乘法逆，我们就称\(r\)是单位。

环与域的概念在代数中有很多的例子，我们举几个常见的例子

类似的，我们也需要研究环与环之间的关系，就像群同态一样，可以定义环的同态和域的同态，它们需要保持运算结构和幺元。

理想

理想这个概念最初是Kummer提出的。提出这个概念是为了挽救在许多数论中考虑的环里面，没有像整数一样优美的唯一分解律：任何整数都可以唯一分解为一些素数的乘积。在一般的环中，素分解不一定是唯一的。Kummer发现，如果引入“理想数”的概念，理想的乘积仍然可能满足唯一分解律。

简单地来说，理想就是倍数集合。比如对于素数\(p\in\mathbb{Z}\)可以考虑\(p\)的所有倍数构成的集合\((p):=\{kp|k\in\mathbb{Z}\}\), 叫做\(p\)生成的理想。这个倍数集合最本质的特点是具有倍数的“吸收性”，即对任何\(r\in\mathbb{Z}, i\in(p)\)都有\(ri\in(p)\).这就引出了如下理想的概念

理想的一个重要用途就是可以用来构作商环，就像定义商群一样，给定环\(R\)和一个双边理想\(I\)我们可以定义陪集集合 \[R/I=\{r+I|r\in R\}.\] 这首先是一个Abel群\(R\)对于子群\(I\)的商群，其元素为陪集\(r+I\)或理解为\(R\)在\(I\)所确定的等价关系的一个代表元。其乘法只需要从大环\(R\)遗传过来就可以了，即规定\(R/I\)中的乘法为 \[(r+I)(s+I)=rs+I.\] 容易验证由于理想的吸收律，作为\(R\)中的子集，乘积\((r+I)(s+I)\subset rs+I\).故上述乘法是定义良好的(不依赖于代表元的选取)。

素理想

理想这个概念是从数论里面得到的，那么自然的，它就会和许多算术概念产生联系。在数论中，用来证明自然数分解成素因子的乘积的唯一分解律的最重要的一步是证明素数具有如下称为欧几里得引理的性质：设\(p\)是一个素数，如果\(p|ab\), 那么\(p|a\)和\(p|b\)至少有一个成立。从理想的角度讲，\((p)=p\mathbb{Z}\subset \mathbb{Z}\)是\(p\)的倍数集合，它是\(\mathbb{Z}\)的一个理想。这时有 \[ab\in (p)\Rightarrow a\in (p) \text{或者} b\in (p).\] 我们可以把这个概念推广到任何一个环，如果环\(R\)的一个真理想\(I\in R\)满足上面的性质，就把\(I\)称为素理想。即，如果 \[ab\in I\Rightarrow a\in I \text{或者} b\in I\] 那么\(I\)就叫素理想。对于一个交换环\(R\), 它的所有素理想构成的集合一般记为\({\rm Spec}(R)\).注意平凡理想不是素理想，这一点属于约定，原因和约定\(1\)不是素数类似，\(1\)这种可逆元应该叫做单位，而不适合叫做素数。

另一个有用的概念是极大理想，环\(R\)的一个真理想\(I\)是极大理想(左,右,双边)是指，环\(R\)中没有包含\(I\)的更大的真理想(左,右,双边).我们说明几个极大理想的简单性质

同态的核与像

就如同群同态的核与像，对于一个环同态\(f:R\to S\), 我们可以定义 \[\ker(f):=\{r\in R|f(r)=0\}\] 以及 \[{\rm Im}(f):=\{f(r)| r\in R\}.\]

我们有显然的同构定理

Noether性质

如果环\(R\)中所有理想都是有限生成的，即任何理想\(I\subset R\)都可以表示为 \[I=Ra_1+Ra_2+\dots+Ra_n\]的形式 (右理想则换成\(a_1R+\dots+a_n R\))，这里\(a_i\in R\),则我们说\(R\)是一个Noether环(左,右,双边)，这是环论中一个重要而基本的性质，我们研究的大部分环都是Noether的。 关于Noether性质，有如下经典的等价表述

下面的一个基本定理说明了很多环都是Noether的。

主理想整环中的算术

这一节我们假定所有的环都是交换环。此时不需要再区分左右理想和双边理想，统称为理想。 设\(a_1,\dots, a_n\in R\),我们定义理想记号 \[(a_1,\dots, a_n):= Ra_1+Ra_2+\dots +Ra_n\] 表示由\(a_1,\dots,a_n\)生成的理想。如果一个理想\(I\)可以由一个元\(a\in R\)生成，即\(I=(a)\)，那么我们称它为主理想(principal ideal)。如果有一个整环\(R\)的所有理想都是主理想，那么我们称它为主理想整环(principal ideal domain)，简称为PID.

设\(R\)是一个一般的整环，就像我们定义素数一样，我们称一个非单位元\(a\in R\)是不可约元，如果\(a=bc\)只能推出\(b,c\)至少有一个是单位。而我们称\(p\in R\)是素元，如果\((p)\)是素理想，即\(p|ab\Rightarrow p|a\)或\(p|b\).我们知道，在整数环\(\mathbb{Z}\)的情形，不可约元和素元是等价的，但在一般的整环中这是未必等价的。有趣的是，在PID中这是成立的。

我们来说明主理想整环在算术上具有非常良好的性质：

我们先证明一个引理，它等价于分解的存在性

现在我们来证明唯一分解定理

注意，虽然唯一分解性质看起来像是显然的，你可能会以为它在所有环中成立，但这是不对的。例如在\(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]=\{a+b\sqrt{-5}|a,b\in\mathbb{Z}\}\)中，有 \[6=2\cdot 3 = (1+\sqrt{-5}) (1-\sqrt{-5})\] 这是\(6\)的两种本质不同的分解。有趣的地方是，它们的分解中出现的因子是不可约元但不是素元。

有趣案例：高斯整环

所谓高斯整环是指\(R=\mathbb{Z}[i]=\{a+bi| a,b\in\}.\)我们将用类似于\(\mathbb{Z}\)的方法证明\(\mathbb{Z}[i]\)是一个PID从而是一个UFD. 我们定义环\(\mathbb{Z}[i]\)中的范数： \[N(a+bi):= a^2+b^2\] 它描述了环中元素的’大小’。容易看出这个范数具有乘性，即\(N(\alpha \beta)=N(\alpha)N(\beta)\).而这在算术上也有所含义

我们来看\(\mathbb{Z}[i]\)是UFD这个事实的强大应用

域上的多项式环是PID

这个结论非常经典而重要，我们在这里还是给出它的证明。事实上这个证明仍然是类似的，由欧几里得除法给出

环的分式化和分式域

本节讨论的都是交换环。 对于一个整环\(R\),我们可以取一个乘性子集\(S\subset R\),即一个子集满足\(a\in S, b\in S\Rightarrow ab\in S\).不失一般性可假设\(1\in S\), 定义环\(R\)对于\(S\)的分式化为 \[S^{-1}R:=\left\{\frac{r}{s}|r\in R, s\in S\right\}\] 这个集合可以自然的赋予加法和乘法结构 \[\frac{r}{s}+\frac{r'}{s'}:=\frac{rs'+sr'}{ss'}\in S^{-1}R\] \[\frac{r}{s}\cdot\frac{r'}{s'}:=\frac{rr'}{ss'}\in S^{-1}R.\] 两个分式\(r/s,r'/s'\)视作等同当且仅当\(rs'-r's=0\). 容易验证它构成了一个环。如果取\(S=R\backslash \{0\}\),则把得到的分式化记作\({\rm Frac}(R)\),称作\(R\)的分式域。

初等数论在密码学中的应用

\(\mathbb{Z}/n = \mathbb{Z}_n\)是一个阿贝尔群，它代表了模\(n\)的\(n\)个剩余类，并且在加法下构成一个群。如果我们考虑\(\mathbb{Z}_n^\times = (\mathbb{Z}/n)^\times\)，即所有与\(n\)互素的剩余类构成的集合，这个集合在乘法下构成一个群，并且其阶数为\(\varphi(n)\).根据拉格朗日定理，对任意\(a\in \mathbb{Z}_n^\times\)都有\(a^{\varphi(n)}=1\),即对任意与\(n\)互素的整数\(a\)都有 \[a^{\varphi(n)} \equiv 1 \mod n.\] 这便是初等数论中的Euler-Fermat定理。这一定理在现代密码学中有着有趣的应用.

在公钥密码学中，人们希望实现如下目标：

• 我们需要在一个通信质量可靠，但信息安全不可靠的信道中通信。

• 我们希望只有发件人和收件人能解读信息的内容，任何在信道中窃听的第三方只能获得密文，而无法获得明文。

• 我们还希望这套加密通信体系不需要事先进行密钥分发。

以往古典密码学的最安全的加密方法是一次性密钥密码，即通信的双方事先准备好一串只有双方知道的超长的随机字符串\(k\in \mathbb{Z}_n^m\)作为一次性密钥，在通信前将密钥\(k\)加到明文\(x\)上去得到密文\(x+k\).由于\(k\)是完全随机的并且与\(x\)独立，\(x+k\)的分布也是完全随机的，即其概率分布是平凡的均匀分布。故任何只获得了\(x+k\)而不知道\(k\)的人无法了解到关于\(x\)的任何信息。收件方只需要计算\((x+k)-k=x\)即可。但是这个密钥只能使用一次，因为\(x\)具有非平凡的概率分布，这导致多次使用同一个密钥是不安全的。因此双方事实上需要准备大量的一次性密钥，用完即扔。这样不仅不方便，而且密钥分发也是一个很难的问题：用完了一次性密钥之后你很难确保密钥能安全的(通过信道或线下分发)分发到对方手中。

现代密码学的开端，RSA公钥加密体系通过引入初等数论的方法和非对称加密体系的概念解决了这一问题。考虑一个由两个大质数乘起来的大整数\(n=pq\)，那么\(\mathbb{Z}_n^\times\)是一个阶数为\(\varphi(n)=(p-1)(q-1)\)的群。即对\(a\in\mathbb{Z}^\times\)都有\(a^{(p-1)(q-1)}=1\).事实上，对应的同余式 \[a^{\varphi(pq)}\equiv 1 \mod pq\] 对\(a\in \mathbb{Z}-(pq)\mathbb{Z}\)都成立。这表明，如果我们取一对指数\((e,d)\)使得\(ed\equiv 1\mod \varphi(pq)\),就会有 \[(x^{e})^d \equiv x^{eq} \equiv x \mod n\] 对所有\(x\)成立。于是我们可以用\(e\)来加密信息\(x\in \mathbb{Z}/n\),得到密文\(x^e\in \mathbb{Z}/n\)，然后用\(d\)来解密，得到\(x^{ed}=x\in \mathbb{Z}/n\).注意这里加密用的密钥和解密用的密钥是不同的，并且它们之间的联系需要通过求解\(ed=1 \in \mathbb{Z}/(p-1)(q-1)\)来得到。(根据理想理论，只需保证\(e\)和\((p-1)(q-1)\)互素即可存在\(ex+(p-1)(q-1)y=1\)).如果\(p,q\)很大，\(n\)将变得难以分解，而不分解\(n\)就无从知道\((p-1)(q-1)\)的取值(容易证明，在给定\(n\)的前提下，知道\((p-1)(q-1)\)等价于知道\(p\)和\(q\))。于是我们可以构造出如下的不需要密钥分发的加密体系：

1. 首先生成两个随机的，巨大的素数\(p,q\),

2. 计算\(n=pq, m=(p-1)(q-1)\),

3. 随机生成与\(m\)互素的整数\(e\)，并利用Euclid除法计算得到\(d\)满足\(ed\equiv 1\mod m\),

4. 向外公布\((n,e)\)作为你的公钥，将\(d\)保留为私密(私钥)信息，\(p,q,m\)等信息保留或丢弃。

5. 当有人需要向你发送加密信息\(x\in\mathbb{Z}/n\)时，他可以计算\(x^e\in \mathbb{Z}/n\)，并通过信道发送给你。

6. 获得\(x^e\)的第三方由于不知道\(d\)，也不能分解\(n\)，无法得知\(x\)。

7. 你只需要计算\((x^e)^d=x\in \mathbb{Z}/n\)就可以解密出原始的信息。

模与线性代数

模的基本知识

模可以说是现代代数学里面最广泛和最重要的一种代数结构了。它可以视为所谓线性代数的自然推广，但所蕴含的现象远远超过了域上的向量空间。就像群可以以群作用一样作用在集合上，我们也可以让环作用在一个集合上。但我们希望环的加法，乘法都能自然地作用在这样的集合上。如果把环里面的乘法看成作用的复合，那我们还不清楚环的加法如何与这个作用配合，因此我们还需要一个加法的结构。于是这引出了模的定义：

环可以很复杂，环上的模自然也可以很复杂，但有两类比较经典的模我们重点讨论，域上的模(向量空间)，以及主理想整环上的(有限生成)模。

模的同态

单同态，满同态，同构的含义是明显的，不再赘述。如果存在模同构态射\(\varphi:M\to N\)，我们称\(M,N\)同构，记作\(M\cong N.\) 由于右模的理论完全是类似的，以下大部分时候我们默认考虑左模。

对于\(M\)的子集\(N\subset M\),如果它满足 \(RN\subset N\) 我们称\(N\)是\(M\)的子模。对于任何子模我们可以构作商模\(M/N\), 其元素为陪集\(m+N\),作用定义为 \[r(m+N):=rm+N\] 容易验证该定义不依赖于陪集代表元的选取，并且满足\(R\)-模的定义。

以下两个定理与群论中的同构定理证明基本相同。

正合序列

当我们有一系列模和模的同态时 如果\(\ker(g)={\rm Im}(f)\),我们说这个序列在\(N\)处正合。如果一个模的映射序列在每一处(除了最左边和最右边的端点)都正合，我们说它是一个正合序列。

模的基本构造

本节我们来讨论如何从已有的模构造出新的模。我们已知的方法有，商模，模的交，模的和。

\({\rm Hom}\)函子

给定两个左\(R\)-模\(M,N\)，我们可以将所有\(R\)-模同态\(M\to N\)组成的集合记为\({\rm Hom}_R(M,N)\).对于\(((A_i)|(B_j))\)多模同态构成的集合则记为 \({\rm Hom}_{(A_i)|(B_j)}(M,N)\). 如果我们要区分模同态的方向，有时候我们用这个记号，将左\(R\)模同态的集合写成\({\rm Hom}_{R|}(M,N)\).对于两个同态\(f:M\to N\), \(g:M\to N\), 容易定义它们的和为 \[(f+g)(m):=f(m)+g(m)\] 这显然也是一个同态，故\(f+g\in {\rm Hom}_R(M,N)\),这说明\({\rm Hom}_R(M,N)\)是一个Abel群。值得注意的是，如果\(M,N\)都是左\(R\)模或者都是右\(R\)模，没有多模的结构，那么它们的\({\rm Hom}_R(M,N)\)并没有自然的\(R\)模结构，仅仅是Abel群(\(\mathbb{Z}\)-模)而已。但如果\(M,N\)至少有一个具有多模的结构的话，\({\rm Hom}\)函子可以被自然的赋予模结构，我们来说明这一点。

\({\rm Hom}\)的模结构

以下\(R,S\)是两个环，如果\(M\)具有左\(R\)模结构和右\(S\)模的多模结构，当我们需要明确标明模的结构时我们写为\({}_RM_S\).

我们来举例说明\({\rm Hom}_R({}_RM_S,{}_RN)\)具有左\(S\)模的结构。这是因为我们可以对\(f\in{\rm Hom}(M,N)\),\(s\in S\)定义 \[(sf)(m):= f(ms)\] 那么\((sf)\)显然是一个左\(R\)模同态(这里需要用到多模的定义：多个环的模结构需要互相兼容)。我们需要验证\({\rm Hom}_R(M,N)\)满足左\(S\)模的定义，其它性质都是显然的，唯一需要仔细检查的是结合律 \[(s's)f = s'(sf)\] 左边的同态是\(m\mapsto f(ms's)\),右边的同态是\(s'(m\mapsto f(ms))=m\mapsto f(ms's)\),因此这是成立的，即\({\rm Hom}_R(M,N)\)在这个定义下成为一个左\(S\)-模。

类似的一共有八种情况，我们将所有情况列出如下表格

群	自然的模结构	\(S\)模结构的定义
\({\rm Hom}_{R|}\left({}_RM,{}_RN\right)\)
\({\rm Hom}_{|R}\left(M_R,N_R\right)\)	\(\mathbb{Z}\)模	none
\({\rm Hom}_{|R}\left({}M_{S,R},{}N_R\right)\)	左\(S\)模	\((sf)(m):=f(ms)\)
\({\rm Hom}_{|R}\left({}_SM_R,{}N_R\right)\)	右\(S\)模	\((fs)(m):=f(sm)\)
\({\rm Hom}_{|R}\left({}M_R,{}N_{S,R}\right)\)	右\(S\)模	\((fs)(m):=f(m)s\)
\({\rm Hom}_{|R}\left({}M_R,{}_SN_R\right)\)	左\(S\)模	\((sf)(m):=sf(m)\)

总结来说，就是\(N\)有哪个方向的\(S\)模结构，\({\rm Hom}_R(M,N)\)就会具有哪个方向的\(S\)模结构。如果双模结构出现在\(M\)上，作用会被函数从里向外复合反过来乘法的方向，导致模的方向发生改变。

自同态环

当\(M=N\)时，\({\rm Hom}_R(M,M)\)记作\({\rm End}_R(M)\),此时它具有自然的环结构，乘法是\(M\to M\)的同态的复合。

\({\rm Hom}\)的函子性

我们说\({\rm Hom}\)函子是什么意思呢？所谓函子是现代数学范畴论中的一个抽象概念，它描述不同范畴之间的对象如何对应起来。它需要

1. 将物件\(A\)对应于物件\(F(A)\)

2. 将映射\(f:A\to B\)对应于另一个映射\(F(f):F(A)\to F(B)\)或者\(F(f):F(B)\to F(A)\).满足前者的称为协变函子，后者称为反变函子。

3. 函子必须保持复合，即\(F(f\circ g)=F(f)\circ F(g)\).

4. 我们还要求函子将恒等映射对应到恒等映射，即\(F(1_A)=1_{F(A)}\).

作为例子，我们详细来说明\({\rm Hom}\)如何构成函子。

• 对于一个固定的\(R\)模\(N\),我们发现\(M\mapsto {\rm Hom}_{R}(M,N)\)是一个反变函子，有时记为\(h_N\). 这个函子将\(R\)模\(M\)对应到Abel群\({\rm Hom}_R(M,N)\),并且将\(R\)模同态\(f:M'\to M\)对应到阿贝尔群的同态 \[{\rm Hom}(f,N):={\rm Hom}(M,N)\to {\rm Hom}(M',N):h\mapsto h\circ f.\] 显然它保持复合和恒等映射。

• 类似的，对于固定的模\(M\),我们发现\(N\mapsto {\rm Hom}_R(M,N)\)是一个协变函子，它将模同态\(g:N'\to N\)对应到阿贝尔群同态 \[{\rm Hom}(M,g):={\rm Hom}(M,N')\to {\rm Hom}(M,N):h\mapsto g\circ h.\] 显然它也保持复合和恒等映射。

直和

给定两个左\(R\)-模\(M,N\),定义它们的直和\(M\oplus N\)是集合\(M\times N=\{(m,n)|m\in M, n\in N\}\)作为Abel群的直和，加法为分量相加，\(R\)的作用定义为 \[r(m,n):=(rm,rn)\] 容易验证这个定义给出了一个\(R\)-模结构。直和不仅仅限于有限直和，对任意一族由集合\(I\)编号的\(R\)模\(\{M_\lambda\}\)我们可以定义直和 \[\bigoplus_{\lambda\in I} M_\lambda:=\left\{(m_\lambda)\in \prod_{\lambda\in I} M_\lambda | \text{至多有有限个$m_\lambda$不为$0$}\right\}.\] 如果对一列相同的模\(M_{\lambda}=M\)作直和，这个直和我们记作\(M^{(I)}\).

直积

与直和类似，一族模\(M_\lambda\)的直积是由集合\(\prod_\lambda M_\lambda\)赋予自然的模结构得出的。区别在于直积中，我们不要求每一个元素的分量只有有限多个不为\(0\),任意序列\((m_\lambda)\in \prod M_\lambda\)都是允许的元素。类似的，如果对一列相同的模\(M_\lambda=M\)作直积，这个直积我们记作\(M^I\).

自由模

由\(R\)的任意数量个直和(可能是无限的)得到的模，或者与之同构的模称为自由\(R\)模。比如\(R^n=R\oplus R\oplus\dots \oplus R\)(\(n\)个\(R\)的直和). 自由模的重要性在于它有如下好性质，任意从\(R^n\)出发的模的同态\(f:R^n\to M\)都可以很容易被确定下来，只需要确定每个\(e_i=(0,\dots,0,1,0,\dots,0)\in R^n\)(第\(i\)位是\(1\))被映射到哪里去，整个模的同态就完全确定下来了。因为\(R^n\)中每一个元素\((r_1,\dots,r_n)\)都可以写成 \[(r_1,\dots,r_n)=\sum r_i e_i\] 因此 \[f((r_1,\dots,r_n))=\sum f(r_i e_i) = \sum r_i f(e_i).\] 值得注意的是，\(f(e_i)\)的值怎么选取没有任何限制。即\(f\)的确定完全取决于\(f(e_i)\)这\(n\)个值的任意选取，或者说，取决于一个任意元素\((f(e_1),f(e_2),\dots,f(e_n))\in M^n\).这给出了如下自然同构 \[{\rm Hom}_R(R^n,M) = M^n.\]

生成元与基

对于一个(左)\(R\)模\(M\), 我们选取了一族元素\((m_i)_{i\in I\in M^I}\)之后，由\({\rm Hom}_R(R^{(I)},M)=M^I\)可以定义出一个映射\(\oplus (r\mapsto rm_i):R^{(I)}\to M\),暂时记为\(\rho\).这个映射的像称之为\(m_i\)的\(R\)-线性组合.我们说\(\{m_i\}_{i\in I}\subset M\)是\(M\)的一组生成元，是指由\(\rho:R^{(I)}\to M\)是满射。即，任意\(m\in M\)都可以写成某个有限的\(m_i\)的线性组合 \[m=r_{1}m_{i_1}+\dots+r_n m_{i_n}.\] 如果存在一族有限的\(m_i\)是\(M\)的一组生成元，\(M\)称作有限生成的。 我们说\(\{m_i\}_{i\in I}\) 是一组\(R\)-线性无关组,简称无关组，是指它对应的映射\(\rho:R^{(I)}\to M\)是单射。即如果\(m_i\)之间有任何有限个元素\(m_{i_1},\dots, m_{i_n}\)有任何\(R\)线性关系 \[r_1 m_{i_1}+\dots +r_n m_{i_n}=0\] 那么所有系数\(r_1=r_2=\dots=r_n=0\). 如果一组元素\(\{m_i\}\)既是\(M\)的生成元，又是\(M\)的线性无关组，这组元素就叫\(M\)的一组基.

标量限制

当我们有环同态\(f:A\to B\)和一个\(B\)模\(M\)时，我们可以通过\(f\)自然的在\(M\)上获得\(A\)模的结构，即定义 \[am:=f(a)m.\] 这样的一个模结构叫做通过\(f\)的标量限制，记作\(f_*(M)\),或者\(M_{[A]}\),或者\({\rm Res}_A^B M\). 注意一般获得的\(A\)模结构与原有的\(B\)模结构并不一定兼容，因此不能说这是一个左\(A,B\)多模。但当\(f(A)\)与\(B\)交换时，这是对的。

向量空间

考虑\(R=k\)是一个域，由于域\(k\)是交换环，\(k\)模不分左右，我们把域\(k\)模统称为\(k\)-向量空间或者\(k\)-线性空间。它们之间的\(k\)-模同态称之为\(k\)-线性映射或者\(k\)-线性变换。

向量空间的基

线性空间最好的一点是，它一定有一组基，于是所有线性空间都同构于某个自由\(k\)模。这使得线性空间非常好研究，我们来说明这一点。接下来我们设\(V\)是一个\(k\)-向量空间。

维数理论

如果\(V\)有两组不同的基\(B_1,B_2\), 我们希望证明\(B_1\)和\(B_2\)是等势的，即它们之间存在双射。

有限的情形

如果\(B_1,B_2\)都是有限的，设\(m=|B_1|\)拥有较少的元素。我们对\(m\)使用归纳法，证明\(|B_2|\le m\)。如果\(m=1\),\(B_1=\{b\}\),那么\(B_2\)中任意元素都可以写为\(b\)的某个非零\(k\)-系数倍,它们无法是线性无关的，除非\(|B_2|=1\).

现在假定命题对于\(|B_1|\le m\)都是成立的，我们来考虑\(|B_1|=m+1\)的情形。设\(a\in B_2\), 由基扩张定理，存在一组基\(B=\{a\}\cup B'\)满足\(\{a\}\subset B\subset \{a\}\cup B_1\), 于是\(V\simeq ka\oplus \left(\bigoplus_{b'\in B'} kb'\right)\),从而\(V'=V/ka\)以\(B'\)(的投射像)为一组基,其元素个数为\(m\).同理\(V'\)也以\(B_2-\{a\}\)的投射像作为一组基，于是\(|B_2|-1\le m\).

无限的情形

现在假定\(V\)具有一组无限基\(B\)从而\(V\cong k^{(B)}\),如果\(C\)是另一组基，对于每一个\(c\in C\), 都有某个有限的表达式\(c=\sum_{b\in B} c_b b\)这里至多有限个\(c_b\)不为零。那么对任意\(c\in C\),考虑有限集\(B_c:=\{b\in B|c_b\neq 0\}\),由于\(C\)能生成整个空间，对每个\(b\)必有\(c\)中向量在\(b\)的系数上不为\(0\),我们有 \[\bigcup_{c\in C} B_c=B\] 由于\(B\)是无限集，这就表明\(|C|\ge |B|\),于是由\(B\)是无限的，我们推出两者都是无限的.于是对\(C\)用同样的推理可知\(|B|\ge |C|\).

交换环上的矩阵

有限生成自由模

我们本节需要假定\(R\)都是交换环。值得注意的是，自由模\(R^m\)中，有一组标准基，即每个元素都可以以唯一的方式写为\(a_1e_1+a_2e_2+\dots+a_me_m\)的形式。

如果一个\(R\)模\(M\)同构于\(R^n\),我们就说\(M\)具有秩\(n\).但是我们还没有证明秩的唯一性，即需要证明\(R^m\cong R^n\Rightarrow m=n\).遗憾的是在一般的环中，这不一定是对的。但至少在PID上的情形，这是对的。为了证明这一点，我们需要发展一些环上的线性代数的知识。

环上的矩阵

我们考虑自由模\(R^n\to R^m\)的模同态，由于 \[{\rm Hom}_R(R^n,R^m)=({\rm Hom}_R(R,R^m))^n=(R^m)^n=R^{mn}\] 我们知道，确定一个同态\(\varphi:R^n\to R^m\)，本质上只需要知道每个\(e_j\in R^n\)被映到\(R^m\)中的哪里。我们用\(e'_i\in R^m\)表示\(R^m\)中的标准基。如果我们记\(e_j\)的像在第\(i\)个位置的分量为\(a_{ij}\),那么可以写 \[\varphi(e_j)=\sum_{i} a_{ij}e'_i\] 这里\(a_{ij}\in R\)是我们要的\(mn\)个\(R\)中的元素。我们可以把这些元素用排成一个矩阵 \[A=\left( \begin{array}{ccccc} a_{11}& a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m1}& a_{m2} & a_{m3} & \dots & a_{mn} \\ \end{array} \right)\] 矩阵一般用大写字母\(A,B,\dots\)等等来表示。这里我们的矩阵是\(\varphi\)的矩阵，我们也记为\(A_\varphi\). 当我们需要强调矩阵元素是\(a_{ij}\)时，我们写\(A=(a_{ij})_{1\le i\le m,1\le j\le n}.\)这个矩阵具有\(m\)行\(n\)列，我们说它是一个\(R\)上的\(m\times n\)的矩阵，记作\(A\in M_{m\times n}(R)\). 当\(m=n\)时这个记号简单写为\(M_n(R)\).

映射的复合与矩阵的乘法

对于\(f,g\in {\rm Hom}_R(R^n,R^m)\), 以及\(r\in R\)我们可以给出同态\(rf\)和\(f+g\)的定义。那么类似的定义矩阵的数乘和加法，即定义\(r\)乘以\(A_f\)是指映射\(rf\)所对应的矩阵\(B_{rf}\) \[rA_f := B_{rf}\] 记\(f,g\)两个同态对应的矩阵分别为\(A_f\), \(B_g\),那么定义\(A+B\)是映射\(f+g\)对应的矩阵\(C_{f+g}\) \[A_f+B_g:=C_{f+g}.\]

当我们有同态的复合 时，可以通过\(A_f,B_g\)算出\(C_{gf}\),我们把这个过程叫做矩阵的乘法，记作 \[B_g\cdot A_f=C_{gf}.\] 具体是怎么操作的呢？我们可以由矩阵\(A_f=(a_{ij}),B_g=(b_{ij})\)写出 \[f(e_j)=\sum_i a_{ij}e'_{i}\] \[g(e'_i)=\sum_k b_{ki}e''_k\] 因此 \[(g\circ f)(e_j)=g(f(e_j))=g\left(\sum_{i}a_{ij} e'_i\right)=\sum_k\left(\sum_{i} b_{ki} a_{ij}\right)e''_k.\] 这表明\(C_{gf}=(c_{ij})=B\cdot A\)的系数应该为 \[c_{ij}=\sum_{k} b_{ik}a_{kj}.\] 这便是矩阵的乘法公式。 注意\(B\)是\(n\times m\)的，\(A\)是\(m\times l\)的，而\(BA\)是\(n\times l\)的，这表明矩阵乘法给出了一个映射 \[M_{n\times m}(R)\times M_{m\times l}(R) \to M_{n\times l}(R).\] 当\(m=n=l\)时，这个乘法运算给出了\(M_n(R)\)上的乘法，从而\(M_n(R)\)成为一个(通常非交换)环。

PID上矩阵的约化理论

本节我们设\(R\)是一个PID, 考虑\(R\)上的\(m\times n\)矩阵\(M\in M_{m\times n}(R)\). 注意到由矩阵乘法，\(M_{m\times n}(R)\)具有\((M_{m}(R),R;M_{n}(R),R)\)多模结构，即可以通过\(m\)阶方阵左乘，\(n\)阶方阵右乘作用在\(m\times n\)阶矩阵上面。

记环\(M_n(R)\)中的乘法可逆元构成的群为\(GL_n(R)\),我们称\(A,B\in M_{m\times n}\)是相抵的，是指存在两个可逆元\(P\in GL_m(R)\), \(Q\in GL_n(R)\)使得\(A=PBQ\).注意相抵是一个等价关系。

矩阵的初等变换

对于矩阵的乘法\(C=BA\)，可以形象的理解为\(C\)是\(B\)的列重新组合得到的，也是\(A\)的行重新组合得到的，而组合的系数由另一个矩阵决定。由矩阵乘法公式 \[c_{ij}=\sum_k b_{ik}a_{kj}\] 可以看出，\(C\)的第\(j\)列是由\(B\)的第\(1\)列乘以\(a_{1j}\)加上\(B\)的第二列乘以\(a_{2j}\),一直加到第\(k\)列乘以\(a_{kj}\).类似的，\(C\)的第\(i\)行则是\(A\)的各第\(k\)行乘以对应的\(b_{ik}\)再相加。于是，左乘一个矩阵相当于行操作，右乘一个矩阵则相当于列操作。

所谓初等变换，则是指一类简单基本的对矩阵的可逆操作。可以对一个矩阵通过左乘和右乘一些简单的可逆方阵来施行初等变换。一共有这样几类初等变换：

1. 将矩阵的一行(或者一列)乘以\(R\)中的某个非零元素，然后加到另一行(对应的，另一列)上去. 比如将\(A\)的第\(1\)行乘以\(r\)然后加到第\(2\)行上去 \[\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ r & 1 \\ \end{array}\right) \left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ ra_{11}+a_{21}& ra_{12}+a_{22}\\ \end{array} \right).\]

2. 重新排列矩阵的行或者列.设\(A=(a_{ij})\in M_{m\times n}(R)\),如果我们需要用置换\(\sigma\in S_m\)重新排列矩阵的行，就左乘\(m\)阶方阵\(P=(\delta_{\sigma(i)j})\).这里\(\delta_{ij}=1_{i=j}\)表示当\(i=j\)时为\(1\),否则为\(0\)的一个函数。我们有 \[(PA)_{ij}=\sum_k \delta_{\sigma(i)k}a_{kj} = a_{\sigma(i)j}.\] 这样的方阵叫做置换矩阵。 类似的，重新排列矩阵的列就右乘一个\(n\)阶置换矩阵。

3. 将矩阵的某一行或者一列乘以一个单位\(u\in R^\times\). 这只需要将矩阵左乘或者右乘一个对角矩阵 \[\left( \begin{array}{ccccc} 1 & & & & \\ & u & & & \\ & & 1 & & \\ & & & \dots & \\ & & & & 1\\ \end{array} \right).\] 其中\(u\)所在的行(列)就是需要乘以的行(列)。

4. 将矩阵的\(a\)倍的第\(i\)行(或者列)加上\(b\)倍的第\(j\)行(列)作为新的第\(i\)行(列)，原来的\(c\)倍第\(i\)行(列)加上\(d\)倍第\(j\)行(列)作为新的第\(j\)行(列)，这里\(ad-bc=1\).这也是一个可逆的变换，它等价于左乘以下矩阵(列的情形：改为右乘，并将\(b,c\)对调位置) \[\left( \begin{array}{ccccc} \dots & & & & \\ & a & & b & \\ & & \dots & & \\ & c & & d & \\ & & & & \dots\\ \end{array} \right)\] 其中省略的部分都是斜对角的\(1\).它的逆是 \[\left( \begin{array}{ccccc} \dots & & & & \\ & d & & -b & \\ & & \dots & & \\ & -c & & a & \\ & & & & \dots\\ \end{array} \right).\]

值得注意的是，这些初等变换都是可逆的，并且它们的逆还是初等变换。并且一系列初等变换都可以用左乘一个矩阵和右乘一个矩阵来得到。这是因为，施行一系列行列初等变换，可以视为按一定顺序左乘右乘了一系列\(P_i\)和\(Q_i\),由结合律，可以将结果写成 \[(P_k\dots P_1)A (Q_1\dots Q_k)\] 当然，这相当于说\(M_{m\times n}(R)\)是\((M_m(R);M_n(R))\)多模。

相抵标准型

PID上的有限生成模的结构

利用我们在本章建立的这些结果，我们将证明两个重量级结论，一个是PID上的(有限生成)自由模的秩是确定的，即\(R^m\cong R^n\Rightarrow m=n\).另一个是PID上有限生成自由模的子模还是有限生成自由模。

有限生成自由模的秩

事实上，这对所有整环成立。

于是，我们可以定义有限生成自由模的秩\({\rm rank}(R^n)=n\).

有限生成自由模的子模

Noether模

所谓Noether模是指这样一类模，它的所有子模都是有限生成的(那么自然，它自己也得是有限生成的)。

和Noether环完全类似，我们有如下的等价叙述

为了说明各类常见的模都是Noether模，我们从\(R\)开始构造出其它Noether模。

作为结论，若\(R\)是Noether环，\(R^n\)是Noether的，从而所有有限生成\(R\)模都是Noether的，因为它们都是某个\(R^n\)的同态像。

PID上的有限生成自由模

设\(R\)是一个PID,那么\(R\)显然是Noether环，于是\(R^n\)是Noether模从而其子模都是有限生成的。设\(N\subset R^n\)是一个子模，由于它是有限生成的，可设有满射\(R^m\to N\),将它与自然映射\(N\to R^n\)复合可以得到一个映射\(f:R^m\to R^n\),其像为\(N\).于是我们可以将该映射写为一个\(n\times m\)的矩阵\(A\),考虑\(A\)的相抵标准型，存在可逆\(n\)阶和\(m\)阶的方阵\(P,Q\)使得\(PAQ=D\),这里\(D\)是一个对角形的矩阵。翻译回映射的语言，这就是说，存在两个同构映射\(p:R^n\to R^n\)和\(q:R^m\to R^m\)使得\(p\circ f\circ q=\delta : R^m\to R^m\to R^n \to R^n\).那么显然\({\rm Im}(f)={\rm Im}(f\circ q)\cong {\rm Im}(p\circ f\circ q)={\rm Im}\delta\),这里\(\delta\)对应的矩阵是\(D\),也就是以下形式 \[\left( \begin{array}{ccccc} d_1 & & & & \\ & d_2 & & & \\ & & \dots & & \\ & & & d_r & \\ & & & & O \end{array} \right).\] 其中\(d_i\in R\),\(r\le n\).于是我们知道，存在\(R^n\)的一组基\(e_1',e_2',\dots,e_n'\),使得\({\rm Im}\delta = d_1Re_1'\oplus d_2Re_2'\oplus\dots \oplus d_r Re_r'\),这里直和是内直和。此处这个\({\rm Im}\delta\)已经与\(N\)同构了，如果要换回原来\(N\)的形式，那么由于\(p^{-1}\)是同构映射， \[N=p^{-1}({\rm Im}\delta) = \bigoplus_{i\le r} d_iR p^{-1}(e_i').\] 这里\(e_i=p^{-1}(e_i')\)仍然构成\(R^n\)的一组基，因为\(p^{-1}\)是同构。于是存在\(R^n\)的一组基\(e_1,\dots,e_n\)使得 \[N=d_1Re_1\oplus\dots \oplus d_rRe_r.\]

PID上的有限生成模

任何有限生成模\(M\)都是自由模的同态像，从而是自由模关于它某个子模的商。我们知道，PID上有限生成自由模\(R^n\)的子模一定形如\((d_1)e_1\oplus \dots \oplus (d_r)e_r\),这里\(e_i\)是\(R^n\)的一组基(不一定是标准基).于是在同构\(R^n\cong Re_1\oplus \dots Re_n\)下，这个商同构于 \[R/(d_1)\oplus\dots\oplus R/(d_r)\oplus R^{n-r}\]

线性映射的标准型

本节我们设\(\varphi:V\to V\)是一个有限维\(k\)-向量空间上的线性映射。如果我们取\(V\)的一组基\(B=\{e_1,\dots,e_n\}\)并将\(\varphi\)写成矩阵形式\(A\),一个问题出现了，在向量空间\(V\)和\(\varphi\)的定义中，没有明确选择的是哪一个基。事实上，很多线性空间和线性映射都可以在不写出基底和矩阵的情况下定义出来，即不依赖于基底的选取。但是如果我们要将其写成矩阵形式，就一定要人为选取一组基。这就产生了这样几个问题：

1. 不同的基的选取对矩阵有什么影响？

2. 有没有一种’最好’或者’很好’的特殊基，使得矩阵的形式得到简化？

相似矩阵

我们先来看第一个问题。设\(B'=\{e_1',\dots,e_n'\}\)是另一组基，其矩阵记作\(A'\). 所谓矩阵，本质上是\(k^n\to k^n\)的映射，它与原来的映射的关系可以用基映射\(\rho:k^{(B)}\to V\)来描述，这里\(\rho\)是\(\{e_1,\dots,e_n\}\)所确定的映射，它是一个同构。将\(A\)看做\(k^n\to k^n\)的线性映射，此时我们有\(A=\rho^{-1}\circ\varphi\circ \rho\),如下交换图所示(所谓交换图，是指按照不同路线将映射复合起来时，所得的映射一致) 类似的，如果\(\rho'\)是另一组基所确定的映射，则有\(A'=\rho'^{-1}\circ\varphi\circ \rho'\).于是 \[A'=\rho'^{-1}\rho A \rho^{-1}\rho' = (\rho'^{-1}\rho) A (\rho'^{-1}\rho)^{-1}\] 这个故事可由如下交换图来表示 注意到这里\(\rho'^{-1}\circ \rho:k^{(B)}\to k^{(B')}\)也是一个\(n\times n\)的矩阵并且还是同构(从而是可逆矩阵).记该矩阵为\(P\),称作坐标转移矩阵。我们得到 \[A'=PAP^{-1}.\] 这样两个来自同一个映射的矩阵就被联系起来了。如果存在可逆矩阵\(P\)使得两个方阵\(A',A\)由上述关系联系起来，我们就称这两个矩阵相似.容易验证，相似是\(M_n(k)\)上的等价关系。

相似标准型

现在我们需要回答，给定两个矩阵\(A,B\),如何判断它们是否相似？这本质上是一个分类问题。一般来讲，我们会从以下几个角度研究这样的问题，一是寻找’不变量’，即可以通过矩阵\(A\)算出来的，在相似变换下不变的量。二是，我们可以在每一个相似等价类中找出一个代表元，然后看看矩阵\(A\)和\(B\)能否被化为相同的代表元，或者从不变量计算出这些代表元。无论哪一种，都启发我们从不依赖于坐标的角度出发。不妨设我们的矩阵是线性映射\(\varphi\)在\(V\)上的一组基下的矩阵表示，我们发现，\(V\)除了是\(k\)模以外，还可以把\(\varphi\)作用在\(V\)上。通过重复作用\(\varphi\)和它们的线性组合，我们可以将任一个\(\varphi\)的\(k\)多项式\(p(\varphi)\)，作用在\(V\)上，这里\(p(t)\in k[t]\)是多项式。于是\(V\)成为一个\(k[t]\)模，其作用为 \[p(t)v:=p(\varphi)v.\] 我们思考，如果我们让\(\varphi\)代表矩阵的作用，那么矩阵相似是否和对应的\(V\)模结构有关？事实上我们可以发现

于是，我们发现，对矩阵或映射作相似分类等价于对\(k[t]\)模进行分类。注意到\(k[t]\)是一个PID,我们知道，PID上有限生成模的结构已经被我们完全分类清楚了！它一定可以写成一些形如\(R/(d)\)的模或者准素模\(R/(p^k)\)的直和。一种想法是，我们可以把这样的形式对应的矩阵作为我们的代表元，从而只需要将\(V_A\)化为这样的形式，就可以将矩阵化为标准型。我们先来讨论标准型到底长什么样。

有理标准型

在\(V_A\)的循环分解中，我们把得到的\(d_i\)称之为矩阵\(A\)或者\(\varphi\)的不变因子。为了找出更简单的形式，我们将循环分解中的不变因子分解为素因子的乘积，从而变成准素分解，即\(V\)成为形如\(R/(p^k)\)的模的直和(\(R\)不会出现在分解中，因为\(V\)是有限维\(k\)向量空间)，这里\(p\in R\)是\(R\)上的不可约元素。当我们写出 \[V_A\cong R/(p_1^{k_1})\oplus \dots\oplus R/(p_r^{k_r})\] 时(这里允许序列\(p_i\)和\(k_i\)中的元素重复)，我们把所有的这些\(p_i(t)^{k_i}\)(可重复)称为\(A\)或者\(\varphi\)的初等因子。容易看出，给出初等因子完全确定了\(V_A\)的模结构。上述分解不仅是\(R\)模的直和分解，也是作为\(k\)模的直和分解。于是我们知道，只需找出\(R/(p_i^{k_i})\)的一组\(k\)基，即可找出\(V\)的一组\(k\)-基。 可设\(p_i(t)^{k_i}=t^{d_i}-a_{d_i-1}t^{d_i-1}-\dots -a_{0}\)是首系数为\(1\)的多项式(因为在\(k[t]\)中\(k-\{0\}\)都是单位),我们取 \(1,t,t^2,\dots, t^{d_i-1}\) 在 \(R/(p_i^{k_i})\) 中的像作为它的一组\(k\)-基。那么\(\varphi\)在这组基上的作用就是乘以\(t\)在这组基上的作用，我们有 \[t\cdot 1=t\] \[t\cdot t=t^2\] \[\dots\] \[t\cdot t^{d_i-1}=t^{d_i}=a_{d_i-1}t^{d_i-1}+a_{d_i-2}t^{d_i-2}+\dots +a_{0}\] 这便给出了在这组基下\(\varphi\)在子空间\(R/(p_i^{k_i})\)上作用的矩阵 \[A_{p_i^{k_i}}= \left( \begin{array}{ccccc} & & & & a_{0}\\ 1 & & & & a_1\\ & 1 & & & a_2\\ & & \dots & & \dots\\ & & & 1 & a_{d_i-1} \end{array} \right).\] 于是\(\varphi\)在这样的基下，其矩阵便是形如这样的矩阵按照对角排列构成的矩阵 \[A= \left( \begin{array}{cccc} A_{p_1^{k_1}} & & & \\ & A_{p_2^{k_2}} & & \\ & & \dots & \\ & & & A_{p_r^{k_r}} \end{array} \right).\] 这里矩阵中的所有元素都属于\(k\),我们称之为\(\varphi\)的有理标准形。

Jordan标准型

如果我们的域\(k\)是代数闭域，即所有\(k\)上的多项式都在\(k\)上有根，即可以分解为一次式的乘积(比如\(k=\mathbb{C}\))，那么矩阵还能化归为更简单的形式。这时，\(k[t]\)上的不可约多项式都形如一次式\((t-a)\),于是\(p_i^{k_i}\)一定形如\((t-\lambda_i)^{k_i}\). 我们考虑\(R/((t-\lambda_i)^{k_i})\)的一个形式更简便的\(k\)-基：\((t-\lambda)^{k_i-1},(t-\lambda)^{k_i-2},\dots,1\),在这组基下，\(t\)的作用如下 \[t\cdot (t-\lambda)^{k_i-1} = \lambda\cdot (t-\lambda)^{k_i-1}+0\] \[t\cdot (t-\lambda)^{k_i-2} = \lambda\cdot (t-\lambda)^{k_i-2}+(t-\lambda)^{k_i-1}\] \[\dots\] \[t\cdot 1 = \lambda\cdot 1+(t-\lambda)\] 这表明，在这组基下，\(\varphi\)在这个子空间上具有如下矩阵表示 \[J_{p_i^{k_i}}= \left( \begin{array}{ccccc} \lambda_i & 1 & & & \\ & \lambda_i & 1 & & \\ & & \lambda_i & 1 & \\ & & & \dots & 1 \\ & & & & \lambda_i \end{array} \right).\] 这里矩阵是\(k_i\times k_i\)的大小。于是\(\varphi\)在\(V\)这样选取的基下具有如下矩阵表示 \[A= \left( \begin{array}{cccc} J_{p_1^{k_1}} & & & \\ & J_{p_2^{k_2}} & & \\ & & \dots & \\ & & & J_{p_r^{k_r}} \end{array} \right).\] 这称为\(\varphi\)的Jordan标准型。特别的，如果\(k_i=1\),那么\(J_{(x-\lambda_i)}=(\lambda_i)\)是一个只有对角线的一阶矩阵。

自由化解

虽然我们已经知道了所有映射的矩阵都可以化为标准型，即\(V_A\)模可以分解为结构定理中所叙述的形式，但是，我们要怎么具体来确定\(V_A\)的模结构呢？在模的理论中，有一个方法是所谓的’模的化解’。就像Taylor展开一样，对于一个一般的\(R\)模\(M\),在了解了它的生成元之后，可以定义一个生成映射\(R^{(I)}\to M\).那么这个\(R^{(I)}\)就可以视为\(M\)的’一阶近似’,它包含了所有生成元，但是生成元之间却没有任何线性关系。这些关系事实上就是\(R^{(I)}\to M\)的核，记为\(K\)。如果我们再找出\(K\)的一组生成元，就可以得到一个正合列 \[R^{(I_2)}\to R^{(I_1)}\to M\to 0.\] 如果此时左边映射已经是单射，我们的逼近就结束了，否则还可以继续不停的在左边重复这个操作，得到一个很长的正合列，这个正合列就叫\(M\)的自由化解序列。注意这样的序列未必是唯一的。

\(V\)的\(k[t]\)化解

本节记\(R=k[t]\).我们要如何给定一个\(R^n\)到\(V\)的满射？或者说，怎么找出一组生成元？事实上，当我们给定一组\(V\)的基\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)之后，\(\varphi\)具有矩阵表示\(A\)，并且\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)是\(V\)的一组\(k\)生成元，自然也是一组\(R\)-生成元。于是我们考虑由\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\in V\)确定的\(R\)-满射 \[\rho:R^n\to V.\] 现在要为这个映射找出核，我们考虑矩阵表示\(A\),显然有 \[x_i:=te_i-(a_{1i}e_1+\dots+a_{ni}e_n)\in \ker\rho.\] 这里\(e_i\in R^n\)是标准基，这就找出了\(\ker\rho\)的\(n\)个生成元\(x_1,\dots,x_n\).于是我们可以作出映射\(R^n\to R^n\)使它的像对应到\(x_i\), 事实上，该映射刚好由矩阵\(tI-A\in M_n(R)\)所描述。由于\(te_i=x_i+(a_{1i}e_1+\dots)\), 我们发现\(N=\sum R x_i + \sum k e_i\)是\(R^n\)的一个\(R\)-子模。于是对任意\(x=\sum p_i(t)e_i\in \ker\rho\),它都属于\(N\),从而可以写成 \[x=\sum q_i(t)x_i + \sum c_i e_i.\] 注意到\(0=\rho(x)=\sum c_i \alpha_i\),我们知道所有\(c_i=0\).这表明\(x\)是\(x_i\)的\(R\)-线性组合，我们证明了\(x_i\)确实构成了\(\ker\rho\)的一组生成元。

我们还需证明\(R^n\to R^n\)是单射，即\(x_i\)是\(R\)-线性无关组。为此，设\(\sum q_i(t)x_i=0\),我们有 \[\sum_{i}q_i(t)te_i - \sum_{i,j}q_ja_{ij}e_i=\sum_i \left(q_it-\sum_{j}q_ja_{ij}\right)e_i = 0\] 这表明\(tq_i=\sum_j a_{ij}q_j\). 那么我们发现，\((q_1,\dots,q_n)=\sum Rq_i\subset \sum kq_i\).由于 \(R\) 是PID,左边的理想是主理想，设它等于\((d)\).若\(d\neq 0\),由于\(R\)是整环，\((d)\)应当是包含了任意次数的多项式，但右边\(\sum kq_i\)是有限维\(k\)-空间，且仅包含有限次数的多项式，这不可能。于是\(d =0\),我们知道\(q_1=q_2=\dots =q_n=0\).

有了这个基本的正合列之后，我们来考察怎么具体将\(V_A\)的模结构计算出来。注意到\(tI-A\)是PID上的矩阵，于是存在可逆矩阵\(P,Q\in M_n(R)\)使得 \[P(tI-A)Q=D={\rm diag}(d_1,\dots,d_r,0,\dots,0)\] 这里\(d_1|\dots|d_r\), \({\rm diag}\)表示以这些元素为对角线，其它地方为\(0\)的对角矩阵。那么我们有这样一个交换图 这里我们需要以下一个简单的引理

现在，由于\(P,Q\)可逆，\(Q^{-1},P\)显然定义出了同构映射。由这个引理我们知道可以构造出\(V_A\)到\(V'\)的同构，这里 \[V'\cong R^n/DR^n=R/(d_1)\oplus \dots \oplus R/(d_r) \oplus R^{n-r}.\] 注意到\(V'\cong V_A\)作为\(R\)模同构自然也是\(k\)模同构，并且是一个有限维\(k\)向量空间，但是\(R\)并不是有限维\(k\)向量空间，于是\(n=r\), \(d_1|d_2|\dots |d_n\)是\(R\)中的非零元素使得 \[V_A\cong V'\cong R/(d_1)\oplus \dots \oplus R/(d_n).\] 当然，判断出\(V_A\)同构于上述形式并不需要前面的论证，只需要使用有限生成\(R\)模的结构定理即可。但是上述过程给出了一个利用\(A\)的形式将\(V_A\)化为结构定理中的标准型的明确计算方式。

特征向量与根子空间

本节我们通过特征空间理论的讨论如何实际的得到转移矩阵\(P\)使得\(P^{-1}AP=D\)为我们的标准型，或者等价的说，\(AP=DP\).假定\(k\)是一个使\(\varphi\)的初等因子都是形如一次式的乘积\((x-\lambda_i)^{k_i}\)的域(比如说，代数闭域，如\(k=\mathbb{C}\))，我们将此时的初等因子中出现的\(\lambda\)称作\(\varphi\)的特征值.按照特征值排列准素因子我们有 \[V_\varphi\cong \bigoplus_{\lambda} \left(\bigoplus_k (R/(t-\lambda)^{k})^{n_k}\right).\] 对于每个特征值\(\lambda\),\(\bigoplus_k (R/(t-\lambda)^{k})^{n_k}\)在同构下对应的\(V_\varphi\)的子空间称为关于特征值\(\lambda\)的根子空间，它等于 \[R_\lambda:=\bigcup_k \ker(\varphi-\lambda)^k.\] 而子空间\(\ker(\varphi-\lambda)\)称之为关于\(\lambda\)的特征子空间，记为\(V_\lambda\),其中的向量叫做\(\varphi\)的特征向量，它显然是对应特征值的根子空间的子空间。 注意到我们前面讨论Jordan标准型时对形如\(R/((t-\lambda)^k)\)的子模的基的\(k\)-基的选取，我们知道\(1\in R\)在该模中的投射像生成了这个模，即它有一组基\((t-\lambda)^{k-1},\dots,(t-\lambda),1\),这里我们的基需要按这样的顺序排列以保证\(\varphi\)的矩阵是之前所描述的Jordan形式。那么如果我们找出了\(1\in R/((x-\lambda)^k)\)到\(V_\varphi\)的同构下的像，不妨记为\(\alpha\)，该子空间对应的一组\(k\)-基就可以写成\((\varphi-\lambda)^{k-1}\alpha, \dots, (\varphi-\lambda)\alpha, \alpha\).

如果\(\varphi\)是可对角化的，那么所有初等因子都是一次式，此时根子空间就等于特征子空间。只要求出特征向量，就能得到\(P\).对于一般的\(\varphi\)我们需要求出根子空间的基\(\ker(\varphi-\lambda)^k\). 下面我们举几个例子来说明

线性映射的不变量

所谓不变量，是指，要么这个量的定义不依赖于基的选取，要么对任意基的选取，这个量都是不变的(即所谓相似不变量).本节我们来看线性映射的几个经典的不变量。

行列式

考虑一个\(n\)维\(k\)-向量空间\(V\)和其上的一个线性映射\(\varphi:V\to V\).我们考虑\(V\)上的一个\(n\)-线性交错函数 \[D(v_1,v_2,\dots,v_n):V\times V\times\dots \times V\to k.\] 所谓\(n\)-线性是指，\(D\)对每个变量\(v_i\)都是线性的，即固定其它元素时， \[v_i\mapsto D(v_1,\dots, v_i,\dots,v_n): V\to k\] 是一个\(k\)线性映射。而交错则是指，如果有两个向量相同，比如\(v_i=v_j=v\)，那么函数的值为\(0\). \[D(v_1,\dots,v,\dots,v,\dots,v_n)=0.\] 作为推论，这表明当我们交换两个向量\(v_i,v_j\)的位置时，函数值会变为原来的相反数 \[D(v_1,\dots,v_i,\dots,v_j,\dots,v_n)=-D(v_1,\dots,v_j,\dots,v_i,\dots,v_n).\] 这是因为\(D(\dots,v_i+v_j,\dots,v_i+v_j,\dots)=0\),利用\(n\)-线性展开可得上述推论。 那么首先我们要问了，我们加了这么多奇怪的条件，这样的函数还能存在吗？我们考虑引入\(V\)的一组基\(e_1,\dots,e_n\),并考虑\(v_i\)在基底下的分解 \[v_i=\sum a_{ji}e_j.\] 那么由\(n\)线性我们有 \[\begin{aligned} D(v_1,\dots)&=\sum_{j_1} a_{j_11}D(e_{j_1},\dots)\\ &=\sum_{j_1}\sum_{j_2} a_{j_11}a_{j_22}D(e_{j_1},e_{j_2},\dots)\\ &=\dots\\ &=\sum_{j_1,\dots,j_n} a_{j_11}\dots a_{j_nn} D(e_{j_1},\dots,e_{j_n}) \end{aligned}\] 由于\(D(e_{j_1},\dots,e_{j_n})\)中需要没有重复元素才能不为\(0\),我们只需要考虑\(k\mapsto j_k\)刚好构成\(\{1,\dots,n\}\)的一个置换的情形。不妨记这个置换为\(\sigma\), 此时置换\(\sigma\)又可以分解为一系列对换的乘积，而每一个对换对\(D\)来说刚好产生一个负号，从而 \[D(e_{\sigma(1)},\dots,e_{\sigma(n)})={\rm sgn}(\sigma)D(e_1,\dots, e_n)\] 故 \[D(v_1,\dots,v_n)=\left(\sum_{\sigma\in S_n} {\rm sgn}(\sigma) a_{\sigma(1)1}\dots a_{\sigma(n)n} \right) D(e_1,\dots,e_n).\] 容易验证上述表达式定义的函数确实满足\(n\)-线性性和交错性，于是我们想要的函数\(D\)确实存在，但其定义似乎依赖于\(D(e_1,\dots,e_n)\)值的选取和\(V\)的一组基的选取。为了避免无意义的\(0\)函数，我们选取\(D(e_1,\dots,e_n)\neq 0\),对任意映射\(\varphi\),考虑 \[\det(\varphi):=\frac{D(\varphi(e_1),\dots,\varphi(e_n))}{D(e_1,\dots,e_n)}\] 称为\(\varphi\)的行列式，如果我们写出矩阵分解\(\varphi(e_i)=\sum a_{ji}e_j\), 根据上面的公式，我们知道这个定义不依赖于\(D(e_1,\dots,e_n)\)的值的选取(只要不为\(0\)),从而可以写出对于矩阵\(A\)的行列式的定义 \[\det A = \sum_{\sigma\in S_n} {\rm sgn}(\sigma) a_{\sigma(1)1}\dots a_{\sigma(n)n}.\] 这相当于假定\(D(e_1,\dots,e_n)=1\)时，\(D(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\)的值，这里\(\alpha_i\)是\(A\)的列。 神奇的是，事实上\(\varphi\)的行列式的定义也不依赖于基 \(e_1, \dots, e_n\) 的选取！为此我们只需证明 相似的矩阵行列式相同。而这是因为行列式是一个乘法同态：

很容易看出，\(\det(I)=1\),因此对于可逆矩阵\(P\)有 \[\det(PP^{-1})=\det(P)\det(P^{-1})=1\Rightarrow \det(P^{-1})=(\det P)^{-1}.\]那么，两个相似的矩阵\(A'=PAP^{-1}\)的行列式就一定是相同的 \[\det(A')=\det(P)\det(A)(\det P)^{-1}=\det(A).\] 事实上，行列式有着明显的含义，\(n\)-线性交错函数某种意义上就是\(n\)-维空间中的一种带符号的体积函数，它描述了向量\(v_1,\dots,v_n\)张成的平行多面体的体积。而这个体积的定义最终还需依赖’基础体积’\(D(e_1,\dots,e_n)\)的值。那么，\(\varphi\)的行列式就是\(\varphi\)把这个基构成的平行多面体映射成的新平行多面体的体积’放大的倍数’,这个倍数却不依赖于’基础体积’的值.即，它描述了线性映射\(\varphi\)的带符号的’大小’.这个大小是不依赖于基的选取的。

张量积

设\(M\)和\(N\)分别是右\(A\)模和左\(A\)模，我们可以定义一个阿贝尔群\(M\otimes_A N\), 其中的元素都是由形如\(m\otimes n\)的符号生成的，其\(0\)元素为\(0\otimes 0\)，并且满足以下三条约束

1. (系数平衡) \((ma)\otimes n = m\otimes (an)\),

2. (左线性) \((m+m')\otimes n = m\otimes n + m'\otimes n\),

3. (右线性) \(m\otimes (n+n') = m\otimes n+ m\otimes n'\).

即，要求这个符号\(\otimes\)具有双线性性，并且\(A\)中的元素可以自由的穿过该符号。严格来说，这个定义是指，\(M\otimes_A N\)是一个由所有符号\(m\otimes n\)生成的自由\(\mathbb{Z}\)模，商掉所有形如\((ma)\otimes n - m\otimes (an), (m+m')\otimes n-m\otimes n-m'\otimes n\)等关系元素生成的子模。当我们不写出\(A\)的时候，要么从上下文是明确对哪一个基环取张量积，要么我们是在对\(A=\mathbb{Z}\)取张量积。由于任何模都是阿贝尔群因此可以视为双边\(\mathbb{Z}\)模，故\(\otimes_\mathbb{Z}\)总是可以定义出来的。

虽然一般来说我们定义出的\(M\otimes_A N\)只是一个Abel群，但类似于\({\rm Hom}\),当\(M\)或\(N\)至少有一个具有双边模的结构时，可以将\(M\otimes_A N\)赋予模结构。 我们来举例说明\({}_SM_R\otimes_R {}_RN)\)具有左\(S\)模的结构。这是因为我们可以对,\(s\in S\)定义 \[s(m\otimes n):= (sm)\otimes n.\]

类似的一共有四种情况，我们将所有情况列出如下表格

张量积的Universal Property

相比于直和或者直积分别代表多个物件指向一个物件，和一个物件指向多个物件，张量积的一个重要含义是，它代表了多线性属性。什么意思呢？我们说\(B:M\times N\to P\)是一个\(\mathbb{Z}\)-多线性映射，是指\(B\)的两个变量都是\(\mathbb{Z}\)线性的。如果还要求\(B\)是\(A\)-平衡的，即\(B(xa,y)=B(x,ay)\)，那么\(B\)本质上是定义在\(M\otimes_A N\)上的线性映射。即，双线性映射不过是一类特殊空间上的线性映射。

对偶空间

对于一个\(A\)-模\(M\)我们可以定义一个对偶模\(M^*:= {\rm Hom}_A(M,A)\)。它的模结构由\(A\)的双边\(A\)模结构给出，即如果\(M\)是左\(A\)模，\(M^*\)就是右\(A\)模，反之亦然。在\(A\)是交换环，或者是一个域的简单情形，我们不需要区别左右模的问题，\(M^*\)就是自然的\(A\)模。

在\(k\)向量空间\(V\)的简单情形，\(V^*={\rm Hom}_k(V,k)\)叫做\(V\)的对偶空间。它可以理解为\(V\)上面所有的线性函数\(f:V\to k\)构成的向量空间。对偶空间好玩的地方在于，它是一个反变函子。

对偶基

如果\(M\)有一组基，即\(M\cong A^{(I)}\)是自由模，那么它的对偶模是\({\rm Hom}_A(A^{(I)},A)={\rm Hom}_A(A,A)^I=A^I\).后者通常是一个比\(A^{(I)}\)更大的模，但如果\(I\)是有限的，那么\(A^{(I)}\)与\(A^I\)是同构的。在向量空间的情形，这表明有限维向量空间的对偶空间\(V^*\)具有和\(V\)相同的维数。但是这个同构并不是典范的，即我们不能在不给定一组基的情形给出这个同构，并且这个同构取决于我们的基的选取，它不是自然同构。即便如此，我们仍然可以讨论一组基对应的对偶基的概念。

设\(V\)由一组基\(\{b_1,\dots,b_n\}\)生成，那么这组基等价于一个同构映射\(\varphi:k^n\to V\)，将\(k^n\)上的标准基\(\{e_i\}\)对应到\(\varphi(e_i) = b_i\)。对这个映射取对偶函子我们会得到 \[k^n \cong (k^n)^*\xleftarrow{\varphi^*} V^*\] 而由函子性，\(\varphi^*\)也是一个同构映射。如果我们扭转\(\varphi^*\)的方向，这就会给出一个同构\(k^n\cong (k^n)^*\xrightarrow{(\varphi^*)^{-1}} V^*\)即\(V^*\)的一组基，称之为\(\{b_i\}\)的对偶基，记为\(\{b_i^*\}\).

具体来说，\(e_i^*\)的定义是，它在\(\varphi^*\)下的像是\(k^n\)上的取第\(i\)个坐标的函数\(e_i^*:k^n\to k\)。即满足 \[b_i^*\circ \varphi = e_i^*\] 带入\(e_j\)就有 \[b_i^*(b_j) = e_i^*(e_j) = \delta_{ij}\] 这里\(\delta_{ij}=1_{i=j}\)表示一个在\(i=j\)时等于\(1\),其它时候等于\(0\)的符号。上面这一行也通常作为对偶基的等价定义，因为对所有\(e_j\in k^n\)满足上一行可以线性扩张到对所有向量满足\(b_i^*\circ \varphi = e_i^*\).

对偶线性映射的矩阵表示:转置

设\(f:V\to W\)是一个有限维线性空间之间的线性映射，在确定了\(V\)和\(W\)上的一组基\(v_i,w_i\)后，具有矩阵表示\(A=(a_{ij})\)即\(f(v_j)=\sum_i a_{ij}w_i\). 那么，对应的对偶映射\(f^*:V^*\xleftarrow{} W^*\)在对偶基\(v_i^*,w_i^*\)下的矩阵表示\(B=(b_{ij})\)是什么样的呢？我们计算 \[\sum_{i'} b_{i'j} v_{i'}^* = f^*(w_j^*) = w_j^*\circ f,\] 代入\(v_i\)就可以得到 \[b_{ij} = w_j^*(f(v_i)) = w_j^*\sum_{j'} a_{j'i}w_{j'} = a_{ji}.\] 这个矩阵事实上就是将\(A\)的所有元素按主对角斜线翻转得来的，将行变成列，列变成行。这个操作我们称之为\(A\)的转置矩阵，记为\(A^T\).因此我们得到了如下推论：

值得注意的是上述推理并不需要\(V\)和\(W\)维数相同，矩阵和矩阵的转置可以对任意形状的矩阵进行。

双对偶

虽然当向量空间是有限维时，\(V\)和\(V^*\)并不是自然同构的，但是神奇的是，\(V\)和\(V^{**}\)是自然同构的。

如果\(V\)不是有限维的，\(V^{**}\)通常会非常大，但是我们仍然有上述自然的单同态\(\mathrm{ev}:V\to V^{**}\).

域扩张和伽罗瓦理论

群表示论

本章节需要大家具有线性代数和张量积的基础知识。从某种意义上说，群表示论是线性代数的延伸。想想一个线性空间\(V\)和其上的一个线性算子\(\sigma:V\to V\), 那么我们可以把\(v\)自然的作用在\(V\)上，于是可以得出一系列\(v,\sigma v, \sigma v^2,\dots\).如果\(\sigma\)还是可逆的，我们相当于可以把\(\sigma^k\)这一系列算子都作用在\(V\)上，不难发现，这本质上可以视作群\(\mathbb{Z}\)在线性空间\(V\)上的作用。更一般的我们可以考虑群\(G\)在\(V\)上的作用。 群的线性表示是指群以线性变换的方式作用在线性空间上，即给出一个群同态 \(\rho : G\to {\rm GL}(V).\) 或者等价的说，给\(F\)-向量空间\(V\)一个\(FG\)模结构(简称为\(G\)模)：\(FG\)是由\(G\)中元素构成的所有线性组合，它们是所有“算子”，可以自然的作用在\(V\)上，并且满足对于\(\forall g,h\in G\)以及\(\forall \lambda,\mu \in F\),

1. \(1v=v\).

2. \(h(gv)=(hg)v\).

3. \(g(\lambda v+\mu w) = \lambda gv+\mu gw.\)

基本概念

设\(G\)是一个群，\(V\)是域\(F\)上的向量空间。如果有同态 \[\rho:G\to{\rm GL}(V)\] 则我们称 \((V,\rho)\) 是一个 \(G\)的\(F\)-线性表示，在不引起混淆时我们直接称\(V\)或者\(\rho\)为\(G\)的一个线性表示。如果 \(\dim{V}<\infty\), 我们说 \(\dim{V}\) 是表示的次数，记作\(\deg\rho\).我们只涉及有限维的表示。

我们可以定义 \(\ker\rho:=\{g\in G:\rho(g)=1_V\}\), 称作表示\(\rho\)的核。如果 \(\ker\rho=\{1\}\) 我们说表示\(\rho\)是忠实的。

一个表示就是给了\(G\) 在线性空间 \(V\)上的一个(以可逆线性变换的方式)作用。\(V\) 可以等价的说成一个 \(G\)-模。所有 \(\rho(g)\) 都是 \(V\to V\) 的一个可逆线性变换。

子表示和商表示

设\(V\)是一个\(G\)表示，\(U\subset V\) 是一个子空间。我们称 \(U\) 是一个 子表示 如果 \(\rho(g)U\subset U(\forall g\in G)\), 也即\(U\)在\(G\)的作用下是封闭的。在这种情形下我们还可以给商空间一个自然的作用，获得所谓的商表示 \[g(v+U):=gv+U.\] 如果 \(U\) 是 \(V\) 的一个子表示，适当的取\(V\)的一组基 \(v_1,\dots,v_m,\dots,v_n\) 使得 \(v_1,\dots,v_m\) 构成 \(U\) 的一组基，则用矩阵的语言我们有对所有\(g\in G\), \[\rho_{V}(g)=\left( \begin{array}{cc} \rho_{U}(g) & * \\ & \rho_{V/U}(g) \\ \end{array} \right).\]

表示的同态

设 \((V_1,\rho_1)\) 和 \((V_2,\rho_2)\) 是两个表示. 如果有线性映射 \(f\in {\rm Hom}{F}{V_1,V_2}\) 满足 \(\rho_{2}(g)\circ f=f\circ\rho_1(g)\) 即 \(gf(v)=f(gv)\), 或者说有如下交换图表 则我们称\(f\)是一个\(G\)表示的同态，或者说是一个\(G\)模同态。全体 \(G\)-模同态的空间记作\({\rm Hom}{G}{V_1,V_2}\).

反轭表示

当\(V\)是一个\(G\)表示时，我们也可以自然地把\(V^*={\rm Hom}{F}{V, F}\)看成一个\(G\)表示 \[\left(\rho^*(g)f\right)(v):=f(g^{-1}v)\] 我们把这个表示称作\(V\)的 反轭表示。在选取了\(V\)的一组基\(B\)，以及\(V^*\)的一组对偶基 \(B^*\) 之后，我们有 \[\rho^*_{B^*}(g)=\left(\rho_{B}(g)^T\right)^{-1}.\] 读者可能会奇怪，为何反轭表示里，\(gf(v)\)定义为\(f(g^{-1}v)\)而不是\(f(gv)\)？这是因为群的作用需要满足结合律，也即需要满足 \[(gh)f = g(hf).\] 但是注意到映射\(f\)的合成会把乘法的顺序反过来 \[g(hf) = g(f(h^{-1}\cdot)) = f(h^{-1} g^{-1} \cdot) = f((gh)^{-1}\cdot)\] 因此需要引入逆将乘法的顺序再反过来，这是唯一合理的定义。

张量积表示

对于给定的两个表示 \(V\) 和 \(U\)，我们可以在张量积空间\(V\otimes U\)上定义一个自然的作用使其成为一个\(G\)表示 \[\begin{aligned} \rho_V\otimes\rho_U: G &\to {\rm GL}(V\otimes U)\\ g &\mapsto \rho_V(g)\otimes\rho_U(g). \end{aligned}\] 称之为张量积表示。 通过张量积表示，我们可以将空间\({\rm Hom}{F}{V,U}\)自然地视作一个\(G\)模。这是因为，\({\rm Hom}{F}{V, U}\) 可以自然的视作 \(V^*\otimes_F U\)，于是在其上的张量积表示可以给出 \[(gf)(v):=g(f(g^{-1}v)).\] 在这个定义下，\({\rm Hom}{G}{V,U}\)成为 \({\rm Hom}{F}{V,U}\)的子表示。

表示的直和

我们可以将两个表示\(V_1\)和\(V_2\)直和起来，得到一个新的\(G\)表示\(V_1\oplus V_2\) \[\begin{aligned} \rho_1\oplus\rho_2: G &\to {\rm GL}(V_1\oplus V_2)\\ g &\mapsto \rho_1(g)\oplus\rho_2(g). \end{aligned}\] 也即 \[g(v_1,v_2)=(gv_1,gv_2).\] 从矩阵的观点来看，令\(B_i\)是\(V_i\)的一组基，则我们有 \[\rho_V(g)=\left( \begin{array}{ccc} \rho_{V_1}(g) & & \\ & \dots & \\ & & \rho_{V_n}(g) \\ \end{array} \right).\]

表示的外张量积

给了一个\(G_1\)的表示和\(G_2\)的表示之后，我们可以构造一个\(G_1\times G_2\) 的表示 \[\begin{aligned} \rho_1\#\rho_2: G_1\times G_1 &\to {\rm GL}(V_1\otimes V_2)\\ (g_1,g_2) &\mapsto \rho_1(g_1)\otimes\rho_2(g_2) \end{aligned}\] 称作表示\(\rho_1\) 和 \(\rho_2\)的外张量积。

不可约表示

我们现在将要研究将表示拆分成一些更小的表示，以及无法再分解的基本的表示：不可约表示。 一个表示 \(V\) 叫做 不可约 如果它没有非平凡的子表示。叫做不可分解，如果它不能分解成两个非平凡的子表示的直和。显然不可约模一定是不可分解的。我们称一个表示是完全可约的，如果它能分解成不可约模的直和。显然我们讨论的有限维表示都可以分解为不可分解表示的直和，但不可分解模不一定是不可约模。但是，我们将证明，对于\({\rm char} F\not | \,|G|\)的情形，有限维表示都是完全可约的。

我们今后将完全限于\({\rm char} F \not| \,|G|\)的情形(称之为常表示论)，读者完全可以假设\(F=\mathbb{C}\)而不失任何关键信息。\({\rm char} F||G|\)的情形非常复杂，属于模表示论的范畴。

下面的引理是简单而重要的：两个不同构的不可约表示之间没有非平凡的同态。

Maschke 定理

我们即将开始看到\({\rm char} F\not| \, |G|\)起到什么样的作用。Maschke定理描述了在这种情形下，每个子表示都有直和补表示，这将表明不可分解模是不可约的，从而我们研究的有限维表示都可以分解为不可约表示的直和。

正则表示的分解

正则表示\(FG\)具有基本的重要性，因为每个不可约表示都是\(FG\)的直和项。这是因为，如果我们把\(FG\)分解成某些不可约表示的直和 \[FG=\bigoplus_{i=1}^m V_i^{\oplus n_i}\] 设\(V\)是任意一个不可约表示，则有 \[{\rm Hom}{G}{FG,V} = \bigoplus_{i=1}^m {\rm Hom}{G}{V_i,V}^{\oplus n_i}.\] 于是由Schur引理，若\(V\)没有出现在\(FG\)的分解中，上述空间\(=0\).如果\(V=V_j\), 则\(n_j \dim{\rm Hom}{G}{V_j, V_j} = {\rm Hom}{G}{FG,V}\). 但是我们知道，可以实际的计算空间\({\rm Hom}{G}{FG,V}\).事实上，其中的元素\(f\in{\rm Hom}{G}{FG,V}\)完全由\(f(1)\in V\)值所决定，反过来任给一个\(v\in V\)可以作出映射\(f\)使得\(f(1)=v\).于是有线性空间的同构 \[\begin{aligned} \varphi: {\rm Hom}{G}{FG,V} &\to V\\ f &\mapsto f(1). \end{aligned}\] 于是我们得出如下重要命题

特征标理论

特征表理论是群表示论的核心部分之一：它是表示的重要不变量。给定一个表示\((V,\rho)\)，我们可以联系一个表示的特征标\(\chi=\chi_\rho:G\to F\)，定义为\(g\)作为线性变换的迹 \[\begin{aligned} \chi_\rho: G &\to F\\ g &\mapsto {\rm tr}\rho(g). \end{aligned}\]

Properties

The sum, or product, of two characters of \(G\), is still a character of \(G\), since the sum is the character of the direct sum of the two representations, and the product is the character of the tensor product of the two representations.

Orthogonal Relations

If \({\rm char} F\not| |G|\), for two \(F\)-valued functions \(\chi_1,\chi_2\) on \(G\), define \[(\chi_1,\chi_2):=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\chi_1(g)\chi_2(g^{-1}).\] We have the following

The first orthogonal relation can also be stated as follows \[\frac{1}{|G|}\sum_{t=1}^{s}h_t\chi_i(g_t)\chi_j(g_t^{-1})=\delta_{ij}\dim{\rm Hom}{G}{V_i,V_i}\] where \(\{g_1,\dots,g_s\}\) is a set of representatives of the \(s\) conjugate classes of \(G\). \(h_1,\dots,h_s\) are the sizes of each conjugate class. In particular, if \(F=\mathbb{C}\) and denote \(\chi_{ij}=\chi_i{g_j}\), one has \[\frac{1}{|G|}\sum_{t=1}^{s}h_t\chi_{it}\overline{\chi_{jt}}=\delta_{ij}\] using matrix notations, this is \[XH\overline{X}^T=|G|I\] where \(X=(\chi_{ij}),H={\rm diag}\{h_1,\dots,h_s\}\). It is easy to see that we have \[\overline{X}^{T}X=|G|H^{-1}\] or written explicitly \[\sum_{t=1}^s \overline{\chi_{ti}}\chi_{tj}=\frac{|G|}{h_i}\delta_{ij}=\left|C_{G}(g_i)\right|\delta_{ij}\] this is called the second orthogonal relation or column orthogonal relation.

置换特征标

Let \(G\le S_n\) acts on \(\{x_1,\dots,x_n\}\), we obtain easily a representation of \(G\) on \[V=\langle x_1,\dots,x_n\rangle_F\] thus \(|{\rm Fix}(g)|={\rm tr}{\rho(g)}\) is a character. Since \[U=F(x_1+\dots+x_n)=Fz\] is a subrepresentation or a sub-\(FG\)-module of \(V\), one can construct the quotient representation \(V/U\), and obviously \[\chi_\rho = \chi_U + \chi_{V/U} = 1 + \chi_{V/U}.\] Which gives another useful character \(\chi\) of \(G\) \[\chi = |{\rm Fix}(g)|-1.\]21

Tensor Product

\[V\otimes V\cong {\rm Sym}^2(V)\oplus{\rm Alt}^2(V)\] \[\chi^2=\chi_S+\chi_A\] \[\chi_S=\frac{1}{2}\left(\chi^2(g)+\chi(g^2)\right)\] \[\chi_A=\frac{1}{2}\left(\chi^2(g)-\chi(g^2)\right)\]

Powers of Irreducible Character

Character Table : Examples

We give some examples of calculating the character table of a given group \(G\).

Integrality

Burnside’s Theorem

诱导表示

我们通常希望用更小的群的表示来描述一个群\(G\)的表示。这方面，最简单的考虑是所谓膨胀(Inflation).

膨胀

当\(N\lhd G\)，我们可以通过投射\(G\to G/N\)将\(G/N\)的表示拉回为\(G\)的表示： \[G\to G/N\to {\rm GL}(V).\] 这个操作称为膨胀 \[\inf : {\rm Rep}(G/N) \to {\rm Rep}(N)\] 并且我们有\(\inf\)是一个忠实函子。这是一个常用的获得较为简单的\(G\)表示的手段。

限制

当有子群\(H\le G\)时，我们可以将\(G\)的一个表示\(V\)直接视为\(H\)的表示，即通过合成 \[H\to G\to {\rm GL}(V)\] 定义\(H\)的作用。这个操作称作限制(Restriction) \[{\rm Res}^G_H: {\rm Rep}(G)\to {\rm Rep}(H).\] 从特征标的角度来看，限制不改变特征标：只需将\(\chi\)限制在子群\(H\le G\)上取值即可。

诱导表示

诱导这个操作则是要从\(H\)的表示\(V\)构造出一个\(G\)的表示来，也即把\(H\)模\(V\)变为一个\(G\)模。这个构造比限制要复杂，但是想法是简单的：利用双边\(G\)模\(FG\)和我们的胶水：张量积，我们将为\(V\)配上一个\(G\)系数，考虑如下的张量积 \[V' = {\rm Ind}^G_H(V) = FG\otimes_{FH} V\] 则\(V'\)由于\(FG\)可视为左\(G\)右\(H\)模的结构，具有\(G\)的左乘作用 \[g(g_0\otimes_H v) := (gg_0)\otimes_H v\] \(V'\)于是成为一个\(G\)表示。可以这样来想象\({\rm Ind}_H^G V\), 我们取一组陪集代表元\(G/H\)，那么

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1. 一般的书从一开始就只写了这个定义，这对初学者来说容易带来困难，初学者会以为群就是一种集合上面带有一种运算，满足一些不知道为什么的定义，他们需要花很长时间才能认识到群代表的实际上是对称。↩︎

2. 也记为\(C_n\)或\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\).↩︎

3. 我们基本上只讨论有限群。↩︎

4. 严格来说，是\(D_3\)同构于\(D_6\) 的一个子群↩︎

5. 一个关系\(\sim\)称作等价关系，如果它满足自反性\(a\sim a\)，对称性\(a\sim b\Leftrightarrow b\sim a\) 和传递性\(a\sim b,b\sim c\Rightarrow a\sim c\).↩︎

6. 也可以定义右陪集。但为了方便，本书统一使用左陪集。↩︎

7. 也即与其它所有元素都交换的元素↩︎

8. 这种用交换图来表达等式的方式非常直观，在代数学中会经常用到。↩︎

9. 有些书也记为\(S_X\)↩︎

10. 据说Frobenius 早在Burnside 之前发现了这个结果↩︎

11. 对于\(S\subset G\),我们以记号\(C_G(S)\)表示\(\{g\in G|gs=sg,\forall s\in S\}\),称为\(S\)的中心化子。↩︎

12. 也可以定义右正则表示\[\begin{aligned} \alpha: G &\to {\rm Sym}(G)\\ g &\mapsto (a\mapsto ag^{-1}) \end{aligned}\]↩︎

13. 称它为诱导表示，是因为它实际上是\({\rm Ind}_H^G V_0=\bigoplus_{g\in G/H}gV_0\)，其中\(V_0\)是\(H\)的一维平凡表示。↩︎

14. Zorn引理是指：如果带有偏序的集合\(S\)上的任意升链都在\(S\)中有上界，那么\(S\)存在极大元。该引理是集合论的结果，等价于选择公理。这里包含\(I\)的任意理想的升链\(I_1\subset I_2\subset \dots\)的上界是理想的并\(\bigcup_{i=1}^\infty I_i\),容易证明它也是一个理想因此属于\(S\)从而可以用Zorn引理。↩︎