Author: Eiko
Tags: Algebra, Group, Ring, Module, Field, Linear Algebra, Symmetry, Group Action, Group Representation, Sylow's Theorem, Commutative Algebra, PID, Number Theory, Vector Space, Jordan Canonical Form, Classification of Linear Endomorphisms, Tensor Product, Dual Space
Time: 2024-12-07 04:00:00 - 2024-12-07 04:00:00 (UTC)
本书的目的是带领读者了解并理解群,环,模等代数结构。本书希望以原理性的方式讲述,使读者明白基本的原理,并能理解整个理论,而不是完全的平铺直叙。其中穿插了许多练习,可以帮助读者熟悉概念并检查自己的理解。有一定难度的问题我们用难度星级 标示出来了,的个数代表它们的难度(难度分为0,1,2,3,4,5星)。星的题目都是可以立即想出来的,读者看几眼就能知道答案的那种。看到星题目时一定要立即想一想,这可以用于检查对概念的理解,想不出来就应该回顾前面的内容。有些练习事实上是简单而有一定重要性或有用的结论,读者通过自己的思考,可以对它们有更好的理解和印象。
最后更新:2024年2月12日
对称现象与群
认识对称
在浩瀚无边的宇宙中,存在着无数缤纷复杂的对称现象。对称这个词我们不陌生,比如我们常说圆既是个轴对称图形,又是个中心对称图形,它还是“旋转”对称的;(等边)三角形是轴对称的,它有三条对称轴,不仅如此,事实上我们感觉到:三角形从三个不同的方向看过去,是一样的,这似乎也是一种对称性……那么什么是对称呢?
我们需要把对称现象作一个高度的概括。不难发现,可以以一种统一的方式来重新理解上面的几个例子:对圆作对称轴反射变换、旋转变换,或者是中心对称变换,即映射,整个圆又回到了原来的样子。对(等边)三角形作对称轴反射变换、度旋转变换,三角形没有发生变化。
于是我们可以说,所谓某个对象的某种对称,就是指某种变换(映射),它保持整个对象不变。但是一般来说,这种变换要有所限制,通常是只考虑从某个大的比较正常/自然的映射空间中选取一些保持它不变的映射。不能是太烂的映射,要不然可选的映射太多了。对于这整个三角形来说,我们所考虑的仅仅是把它看做不可切割的刚体的变换,那些会割裂三角形的映射按照这种说法也可以看成某种对称,但是我们不予考虑。在这种考虑下,一个(等边)三角形的对称事实上只需要看它的三个顶点1,2,3如何运动。比如的变换就是某种旋转,而则是某种轴对称。
对称的本质属性
我们现在用数学抽象的记号来书写我们刚才的讨论。我们首先有一个可能具有某些对称性的对象,在上面有一些对称,也就是一些变换。 它们作用在上使整个不变,也就是说 一个自然的道理是任何对象都有一种对称,其实就是啥也不干。这个啥也不干的恒等映射我们记作。这是对称的本质属性之一。 既然是变换(映射)的话,它们之间必然可以复合,复合运算也必然满足结合律。我们很容易发现,对称之间的复合一定也是对称。用稍微抽象一点的语言来说,这个朴素(这是对称的本质属性之二)的道理就是 (后面的大部分时间里,我们将省略复合的符号,直接写成.)这个简单的式子说明如何用两个对称来“制造”新的对称:把它们复合起来一定还是 的对称!作为最简单的例子,我们还是可以考察一下等边三角形。我们知道,旋转120度的变换可以作用两次,即,这事实上是某种旋转240 度的变换。作用三次,这事实上就相当于什么也没干。不妨用 来表示旋转(不妨说是逆时针)120度的变换,我们已经发现即单位映射,这也就是 值得注意的是,就像映射的复合不一定交换一样,没有任何理由表明对称的复合一定会交换,即不一定有。对称还有一种本质属性。那就是每一种对称变换一定可以反过来进行!也就是任意一种对称,有一种对应于它的反对称,我们把它记作,称它为 的逆,使得。 互逆是相互的关系,你是我的逆,我也是你的逆,所以必须也有。 比如说 的反操作就是顺时针旋转120 度。而这事实上与无异,这一点可以通过对式子两边同时复合一个看出来: 如果我们用来表示上的所有对称变换的集合的话,以上讨论就是说:
.
存在的逆
事实上,我们把这样一个集合称为群,即的对称群。
等边三角形的对称群
等边三角形的对称,有旋转,也有轴对称,事实上它有三种不同的轴对称,不妨记其中以纵轴为对称轴的反射变换是。也有两种不同的旋转 (一个逆时针转120度,一个顺时针转120度),还有一个啥也不干的对称。如前,我们以1,2,3记三角形的三个顶点(不妨把等边三角形平放,上面的顶点定为1,右下的为2,左下的为3)。那么每一个对称事实上都是一个从到的映射。别忘了,作为一个对称,需要有逆,所以 得是单满射。这样的有多少个呢?这只需要决定的值就好了。一共有6种可能的排列,所以三角形上最多只能有6个对称!那实际上它有多少个呢?每一个这样的都是三角形的一个对称吗?的确是!我们将用如下记号 来表示把1映到,把2映到,把3映到的映射。很容易发现 别忘了我们说过,对称变换可以复合,我们试着复合一下与,看看会发生什么?通过计算给出 有趣的是这次复合没有产生新的东西,这个对称是另一种轴对称,保持顶点2不变的轴对称。值得注意的是,读者可以验证这一点。 我们可以验证,整个三角形的对称群有如下6个不同的元素:(这刚好构成了{1,2,3}到{1,2,3}的所有单满射。) 这样一个群具有良好的运算性质:有一个恒等元素1、每个元素都有逆、任何两个元素的复合(也称为元素的乘积)仍然属于这个群,也就是乘法运算具有封闭性。事实上,这个群我们一般记作,叫做二面体群。二面体群这个词事实上包括了一整个系列的群,是指作用在正边形上的所有对称组成的群。(注:有些书上用记我们这里的,这是记号的差别,不幸的是这两种记号都有广泛使用。)
另一个简单的但重要的群的例子:置换群
我们考虑集合,我们研究这个集合的对称。作用在上面的变换是啥呢?就是从它到它自身的所有单满射(必须是单满射,因为对称变换要求有逆)。这个群我们记作,叫做元置换群。其间的元素称为置换 容易知道,。置换群具有基本的重要性,所以对它引入简单而方便的记号是重要的。我们还是以 表示置换。特别的,我们把如下置换形状的置换 称为轮换,把它记为。可以有长度小于的轮换,比如表示把1映到2,把2映到1,其它元素不动的轮换。
置换的轮换表示
一个有趣的事实是每个置换事实上都可以用轮换的乘积(复合)表示出来!为了从一个置换得到它的轮换表示,只需要这样操作:它可能把映到,把映到,……这样下去直到又把某个映回,我们就找到了一个轮换。再从这个轮换没有包含的某一个元素出发,让 不停地作用在它身上,直到循环,得到另一个轮换,以此类推,我们最终能把该置换的所有元素穷尽,得到 并且,表达式中所出现的轮换之间没有公共元素(故此时这些轮换复合(乘积)的顺序不重要)。比如,我们可以得到这个置换的轮换表示: 只需要发现,.
练习 1.1. 计算,直接将它表为不相交轮换的乘积。
写为不相交的轮换乘积。
对称的本质框架:群
一个群本质上是指作用在某种对称物件上的所有对称变换的集合,这集合满足如下性质
乘法满足结合律,.
存在的逆
事实上,抽象地考察群,我们可以发现其运算结构与并没有什么关系,其所有运算信息完全包含在了乘法运算里。以上条件是所有对称现象都具有的,为了研究宇宙中所有的对称现象的本质结构,我们不妨去繁就简,作出如下定义
定义 1.1. 一个群(Group)是指一个集合以及上面附带的一种二元运算称为乘法,满足:
存在一个元素(称为幺元素),它满足对任意元素都有.
对任意的,存在,称为的逆,满足.
乘法满足结合律,对任意的有.
特别地,如果这个运算还满足交换律,,则称它为Abel群(Abelian Group)。
练习 1.3. 验证在一个群中,幺元素是唯一的。一个元素的逆也是唯一的。
在这个群的定义里我们没有提到任何对称变换,甚至只看这个定义的话看不出来这是要干什么,还以为这只是某种运算封闭的集合。群确实也可以代表这种运算封闭的集合,比如说全体整数在加法运算下成群。(事实上,这种运算封闭的集合,比如全体整数在加法下成的群,也是某种对称变换:它是作用在整数集上的所有平移变换。)但请记住群的由来,和群最本质的属性是对称。这样一来,研究了所有群,我们就相当于研究了作用在任何可能的物件/对象上的所有可能的对称。
我们只研究有限群,即元素个数有限的群。我们称一个群的元素个数为这个群的阶数。在第二章我们会为大家证明,对于每个有限群,都可以构造一个对象,使得这个群恰好是该对象的对称群,也即,每个群都是对称群。所以说群的本质是对称:群即对称,对称即群!
群的一些例子
除了我们已经介绍的与以外,还有一些简单的群。 最简单的群的例子应该是,即全体整数在加法下组成的群,我们可以把这个群想象成全体整数的平移对称群。容易验证,全体偶数在加法下也成群。事实上,全体的倍数在加法下都能组成群(因为的倍数在加法下封闭)。
如果我们把中的所有旋转拿出来单独组成一团,容易验证这也构成一个群(因为旋转之间的复合还是旋转),这种群也是最基本的群之一,我们把它记作,叫它 阶循环群,这是一个Abel群。
关于循环群,事实上还有另一种算术的描述:全体整数按照模分成 个不同的剩余类,就是按除以之后的余数分别为划分为类。剩余类之间可以进行加法运算,比方说在模下,有.这样,这些不同的剩余类按加法就组成了一个群,这个群看起来跟之前的好像是不同的,因为一个是旋转变换,一个是剩余类。但是不难看出这两个群在结构上没有什么本质上的区别,也即如果我们把剩余类与等同起来,两边进行的任何群运算都是一样的。这也就是说,在一个对应下 左边的各种运算可以与右边对应的元素的对应运算相对应。这时,我们说这两个群同构。同构的群没有本质的区别,可以视为同一个。关于同构的具体描述将在下一章给出。
练习 1.4. 考虑由所有次单位根,验证它在通常的复数乘法下组成一个群,也即验证它满足群的定义。这个群跟 同构吗?
本章我们用简单的方法探索群的基本结构。
元素上的结构信息
元素的阶数
设,如果有正整数使得,那么我们说是有限阶的,把最小的这样的正整数称作的阶,否则说它是无限阶的。对于有限群来讲,任一个元素,不停地作乘法,得到序列 由于 有限,这个序列一定会重复,不妨设,那么有。 也即有限群中任何元素都是有限阶的。
练习 1.5. 设是中的阶元素并且.证明是的倍数。
命题 1.1. 设是群中的阶元素,那么的阶数是,其中表示的最大公因数。
Proof. 首先由我们知道,的阶数.而若有,则必有是的倍数,因此必然是的倍数。这就表明了的阶数一定是. ◻
在Abel群中,如果已知的阶数,那么的阶数就被约束住了。
练习 1.6. 设是Abel群,阶数分别为,则的阶数是的因数。
练习 1.7 (). 如上题,若还有互素,证明的阶数就是.
值得注意的是,对于非Abel群,仅仅已知的阶数是不能得到与 阶数有关的任何信息的,可以证明存在群使得的阶数取到任意给定的正整数。我们举个例子,在中,令则是五阶的。
练习 1.8 (). 证明,如果一个群中只有阶元素,那么这个群是Abel群。
练习 1.9 (). 设是一个偶数阶群,则有偶数个解。由此知群中一定有二阶元素。
子群与商结构
不难发现,,即正六边形的对称群,里面也包含了正三角形的所有对称!比方说旋转度的对称,这个在正六边形的对称群里也有。三角形的三条轴对称也构成正六边形的三条轴对称,当然正六边形有更多轴对称(反射对称)。这种时候我们说是的子群。数学的历史告诉我们,研究一个结构的子结构是重要的:我们作出如下定义
定义 1.2. 设是一个群,是一个子集,若它在群的乘法下仍然满足群的定义性质,则称是的一个子群。记为。
我们有很多子群的例子,比方说全体偶数的加法群就是的一个子群。再比如说,有子群 和子群,其实就是 和.
例 1.1. 构成的一个子群,叫做Klein 四元群,有时它记作或.这个群是Abel群,但是跟同阶的Abel 群不同构。
练习 1.10. 证明,子群的(任意)交仍然是子群。
陪集与拉格朗日定理
设是一个群,给定了它的一个子群后,我们可以在群上规定一个等价关系: 由于本身是个群,容易验证这样确实定义了一个等价关系,按照这个等价关系,整个群 划分成一些不相交的等价类的并。容易发现,与等价的元素的全体就是,因为. 这样,所有的等价类都形如,并且它们的大小相等,都是. 我们称形如 这样的子集叫做关于的左陪集,简称陪集。我们以 记这个等价关系下,等价类的个数,也即陪集的个数,称它为子群的指数(index).我们有 由于不同的等价类不相交,那么我们已经得到了
定理 1.1 (拉格朗日定理). 设是群的子群,那么
通过连续运用陪集分解,我们可以得到
这个定理还表明,子群的阶数一定是的因数。比方说,借助拉格朗日定理,我们就能知道阶群一定没有阶子群。
例 1.2. 对于群 以及它的子群,我们有如下陪集分解: 此时有.
定理 1.2. 设是有限群中的一个阶元素,那么是的因数。
Proof. 由于是阶元素,我们很容易验证,构成的一个阶子群,因而由拉格朗日定理知一定有是的因数。 ◻
商群与正规子群
就像线性空间(向量空间)可以对子空间构作商空间一样,群也存在商结构。
给定,我们试图把陪集集合 看成一个群,我们所期望的群运算是这样的: 不幸的是,对于某些子群,这个等式不成立。也就是说,不是所有子群都可以用来构作商群。我们作如下推理: ,而对所有都满足等价于对所有都满足. 所以,若要构作商群,子群必须满足条件:,这引出如下定义:
定义 1.3. 设,若 则称是的正规子群,记作.如果一个群除了和以外没有别的正规子群,则称为单群。
例 1.3. 若是Abel群,则的任何子群都是正规子群。
例 1.4. 我们有,这只需验证.容易看出是的子群,但并不是的正规子群,因为.
例 1.5. 我们有.这一点在我们谈到置换群的共轭概念后大家能马上得到。
值得注意的是,正规子群不具有传递性,即推不出.反例将在后面的学习中给出。
练习 1.15 (). 设且,证明和之间的元素可交换。即有.
子群之间的乘积
设.我们记集合 这个集合在大群赋予的运算下,能成一个群吗?答案是不一定。但是当或至少有一个是正规子群时这是对的。不妨设,我们计算 而群的结合律也以从大群中的结合律遗传过来,因而此时构成子群。
另外,就算,中没有一个是正规子群,通过运用陪集分解的方法我们仍然能够计算集合中的元素个数。
Proof. 显然,可以写成一些不相交的关于的陪集的并(尽管可能不是子群),我们有 另外,对作关于子群的陪集分解有 我们发现, 也就是说,关于的陪集个数等于关于的陪集个数,所以有 (这个等式与线性代数中的第二同构定理是否很相似?) ◻
练习 1.18 (). 设.证明 特别的,如果与互素,证明等号一定成立,并且有.
练习 1.19 (). 设是子集(注意,没说是子群),如果,证明一定有 .
群映射
线性空间之间的映射一般只考虑与其线性结构有关的线性映射。而群与群之间的映射也是这样,一般只考虑与其群结构有关的群映射,我们要找的这群映射便是群同态。
定义 1.4 (群同态). 设都是群,是映射,若 则称是群同态或群映射,简称同态。若是单射,则称它为单同态。若是满射,则称满同态。若既是单同态又是满同态,则称是一个同构,称和是同构的,记作.
值得注意的是,在等式中,所用的是群中的乘法运算,而处所用的是群中的乘法运算。
例 1.6. 如第一章,通过对三角形顶点编号,我们发现事实上有. 对于,与并不相同。
例 1.7. 一个群同构于它自身。这只需要取即可。有趣的是一个群可以有不同于恒等映射的同构映射,比如 就是一个同构映射,但它不同于恒等映射,我们把它们(包括)称为的自同构。事实上,这种(非平凡)同构映射的存在说明了群的结构本身具有某种对称性,而群的所有自同构,也就是作用在上的所有对称变换,也构成一个群,称为的自同构群,记作.
练习 1.20. 验证同态一定把中的对应到中的,把对应到,也就是说以及.
练习 1.21. 验证有一个二阶子群,并证明它对这个二阶子群的商群同构于.
练习 1.22. 设是阶元素,证明必是有限阶元素,而且阶数是的因数。
定义 1.5 (核与像). 设有群同态,我们称集合 为的核,集合 为的像。
值得注意的是和分别是和的子群,而且事实上有.
练习 1.25 (). 找出所有的阶数的群。包含只有一个元素的平凡群在内,阶数不超过的群一共有个。(同构的群视为同一个)
简单重要而典型的群映射
单同态
最简单的群映射应该属于单同态。一个单同态本质上是把 给对应到了中的一个子群,而与是同构的。换而言之,单同态就是把以同构的方式“塞”进了.
例 1.8. 考虑群的单同态 容易发现,这个同态完全被的值确定下来了,因为而.由于是阶元素,必须是或阶元素。中的三阶元素只有。因此我们知道,只可能取。由于我们只考虑单同态,可能的选择只剩下两个:或.
如果,那么就有,整个群被映射成了。如果选择,那么就有,整个群.我们知道是的同构于的子群,但是却有两种不同的将嵌入到的方式。但在任何一种方式下,这个单同态都建立了与的同构。尽管中只有一个子群同构于,但之所以会有多种不同的将 嵌入到 的方式,是因为存在从 到 的自同构.换而言之,这种现象发生是因为自身具有的对称性导致的。 
投射与同态的分解
另一种简单而重要的映射是投射。 我们说过,对于群的正规子群,可以构作商群.我们可以考虑一种把中的元素对应到中所在的陪集的自然的映射 这个映射显然是同态,因为.而且还是满同态。那它的核是什么呢?回忆商群中的单位元素就是,也即 中的单位元素所在的陪集,因此,我们得出.
投射的重要性和基本性在于,对于任何同态 我们去考虑这个同态的.一件值得注意的事情是,等价于说.换而言之,若是把对作商群(也即陪集分解),每个陪集的中的元素都被映射到同一个,而不同的陪集一定被映射到了不同的元素(因为只要两个陪集和被映射到了相同的元素,就有).既然中所有元素都被映为同一个(给我们一种浪费的感觉),不如定义一个新映射,把视为商群中的一个元素,让它对应到.
换而言之,我们发现,任何具有的同态都可以分解成两个映射的复合:
这个图的意思就是我们可以将映射对应成两步:.第一步是将对应到它所在的陪集(即从向 的自然投射),第二步是将 映射到.唯一可能存在的问题是第二步映射是不是一个同态?答案是是。验证这一点是极为容易的。任何群映射可以分解成两种基本映射的复合:即一个投射,和一个单同态的复合。顺便,事实上我们可以在这个基础上再加一步,也是最水的一步:,也即先将映入的子群,再将通过平凡单射对应到.
这样,第二步就是一个同态且是单满射,因此是同构。于是我们得出,我们得出了如下重要的定理:
定理 1.3 (同态基本定理). 若是同态,那么,且有同构
Proof. 如上,构作映射 易验证这个映射的定义是良好的,因为只要就有. 现在来证明这是同态: 第一个等号是因为正规。是单射,因为. 另外,显然是满射,故是同构。 ◻
同构定理
同态基本定理又叫第一同构定理。由同态基本定理我们很容易导出许多同构定理,它们和我们在线性代数中学过的同构定理是类似的。
定理 1.4 (第二同构定理). 设且.则有且并且有
Proof. 由于以及容易得出.对任意的有 故. 现在,构作映射 先证明这个映射是同态。因为,我们有 这显然是个满同态。现在我们计算,设,则 故.现在同态基本定理给出 ◻
下面的这个对应定理是基本的,它描述了的子群与的包含了的子群存在着对应关系
定理 1.5 (对应定理). 设,记是自然投射,则有如下从所有中包含的子群到所有的子群的一一对应 即把映射到所有形如的陪集集合。其逆映射为, 这里是的子群。
Proof.
注意到的像就是, 因而是同态的像,故为一个的子群。同理对任意子群,原象也是一个子群。
现在只需验证这两个映射互为逆映射,即验证 和 . 后者是显然的,因为是满射。对于前者,设有陪集分解,则
◻
循环群,生成元与群的表现
循环群是最简单、最基本的一类群,但仍然十分重要。循环群有多种描述方法,比如可以描述成正边形的旋转变换群,也可以描述成模的余数类的加法群。循环群的本质特点是,它可以仅由一个元生成。这就是说,可以找到其中一个元素,通过不断的作逆和乘法可以得到群 中的所有元素。我们把话说得更明白一点:
定义 1.6. 设是一个群,是的一个子集。则中所有包含的子群的交,也即包含的最小子群,称为由生成的子群,记为. 如果 ,则称是由生成的群,称是的一组生成元。若一个群可由其中一个元素生成,即存在使得,就称是循环群。
按照这个定义,除了有限循环群以外,可以有无限循环群,而那本质上就是.
于是,循环群可以想象成一个由抽象字母生成的,满足关系的群,这种用生成元与约束关系描述群的方法叫做群的表现,这个例子我们记作
例 1.9. 类似的,我们容易想象,群可以抽象地描述成由抽象字母和生成,满足约束关系以及 的群。我们可以试试列出一系列这两个字母生成的元素 在群这个特例中,任何抽象字母生成的元素,比如,都可以写成上面的形式,也即的形式。这是因为 我们把这记为 (条件可以简化为).这容易推广成一般的的定义 这个定义是抽象的,它完全没有涉及对称,却把群的结构简单明了地确定下来了!
本节的描述算是启发性,非正式的。我们今后会严格地对待这种群的表示方法。
阶循环群有多少个生成元?问题的答案是明显的,设是一个生成元,则是生成元当且仅当与互质。也就是说,一共有个生成元,这里表示到中与互素的数的个数,也即数论中的欧拉函数。关于这个欧拉函数,有一个有趣的恒等式 其中符号表示整除, 求和号表示对的所有正因数求和。这个等式可以由如下观察得出:对于每一个,循环群中有且仅有一个阶子群,而这阶子群的生成元有个。每个都恰好是某一个的生成元。
关于循环群,有一个刻画了循环群的性质的重要命题:
定理 1.6. 设是有限群。若对的任何因数,中至多只有一个阶子群,则是循环群,反之显然也成立。
Proof. 注意到,任何都有一个由它生成的循环子群。由假设,这个阶数的子群至多只有一个。对于若有一个阶循环子群,则记它的生成元集合为,若没有,则令表空集。由于任何都是某个阶循环群的生成元,我们有 而阶循环群有个生成元,因此 我们发现等号成立,故对每个它恰有一个阶循环子群,这对也是对的,因此它是循环群。 ◻
练习 1.27 (). (没有听说过域的可以跳过)证明,域的乘法群的任何有限子群必是循环群。
置换群与共轭
置换群是有限群中最重要的一类群,说是最基本也不为过,原因是:置换群事实上包含了所有的有限群,即任何有限群都是置换群的某个子群!(这一点我们将在后面给出)
置换的结构与共轭
置换群的基本要素当然是置换。对于置换来说,置换的(不相交的)轮换分解最能体现出它的结构。我们知道,每个置换都有一个不相交轮换的乘积分解,而且可以有很多轮换分解,但事实上,其中那个置换的不相交轮换分解在不记轮换之间的次序之下是唯一的。这一点比较直觉,证明只需用归纳法,没有太多可说的。
命题 1.3. 每个都有不相交的轮换使得 而且这种分解是唯一的,在不记次序的情况下。
Proof. 设有两个不相交的轮换分解 如果移动了,那么就会出现在另一个轮换分解式中的某个轮换中,不妨设. 让不停地作用在上,依次得到,显然必然有这两个分解式的第一个轮换相等。两个式子同时乘以该轮换的逆,我们得到一个轮换个数更少的式子。重复这个过程,不难得到命题。 ◻
于是每个置换都有一种唯一的轮换结构,比如说和具有相同的轮换结构,只是数字不同而已。我们说它们的轮换结构是.类似的,设的轮换分解中长度为的轮换有个,则我们说它的轮换结构是
具有相同的轮换结构就像是矩阵具有完全相同的约当块一样,可以通过“换基”来实现“相似”,比如 其中这种现象我们称之为共轭:
定义 1.7. 对于,若有使得 我们称与在中共轭。易验证共轭是一个等价关系。只与自己共轭的元素我们称为中心元素,所有中心元素记为 或,称为群的中心.
练习 1.28. 证明群的共轭类个数等于当且仅当是Abel群。
练习 1.29. 设是某个固定的元素,验证,共轭映射 是群的自同构。
练习 1.30 (). 接上一题,我们于是有从到的映射 验证这也是一个群同态。证明从而得知是的正规子群。
记,称它为群的内自同构群,于是由同态基本定理
作为给大家看的一个例子,我们证明一个有用的命题。
Proof. 设是循环群的一个生成元在中的原象,可作关于的陪集分解 故每个元素形如,显然有. ◻
练习 1.31 (). 证明,若是循环群,则是Abel群。
练习 1.32 (). 设,其中是素数,证明是Abel群。
练习 1.33 (). 设,令证明:若 则是Abel群。
那么,既然共轭是一个群上的等价关系,群中的元素自然就会划分为一些等价类,这些等价类就称作共轭类。一般来说,群的共轭类的情况比较复杂,但是对于 情况比较简单。
练习 1.35 (). 设是素数,求的共轭类个数。
定理 1.7. 两个置换在中是共轭的,当且仅当它们具有相同的轮换结构。
Proof. 设有两个具有相同轮换结构的置换 显然可作置换使得.则有 这等式可用下图表示(其中若,下标应理解为.)
由共轭推出轮换结构相同也是简单的,设定义如上,则有 ◻
容易看出,一个群的子群若是正规子群的话,那一定是由一些完整的共轭类拼成的。反之,把一些共轭类拼起来,如果恰好也成一个子群的话,这个子群就是正规子群。
练习 1.37 (). 观察 试说明正规子群不具有传递性。
练习 1.38 (). 我们称是的特征子群,如果每一个的自同构都将中的元素映到中。证明,若并且是的特征子群,则.即,正规子群的特征子群还是正规子群。
练习 1.39 (). 设是的最小素因子。证明若有阶子群,则必有.
置换的奇偶性
置换有奇置换和偶置换之分,用符号来表示:奇置换是,偶置换是.置换的符号我们并不陌生,在线性代数中已经碰过了,它可以定义为 的逆序数次方,也可以定义为使如下等式成立的函数。 任何置换都可以分解成对换的乘积,这是因为任何轮换都能分解成对换的乘积,即,我们还可以定义置换的符号为可分解成的对换的个数的奇偶性,可以证明,置换的任何对换分解的对换的个数的奇偶性不变。 按照这种说法,一个对换是奇置换,奇数长度的对换如都是偶置换。
我们将给出另外一种定义,我们先解释一下这个定义是怎么来的。我们知道,每个置换都有一个唯一的不相交轮换分解,如果把被它固定的元素 视为长度为 的轮换,我们以记该置换的不相交轮换分解中轮换的个数,包括长度的轮换。那么定义 首先,对恒等置换,,因此.对于轮换,, 故.而事实上是对每一个轮换的长度 减去后再求和,其奇偶性将与轮换分解中奇置换的个数有关。 麻烦的地方是,我们需要证明这是一个同态。直接证明并不容易,所以我们走稍微简单一点的路线:即证明对任意对换有.
Proof. 若与的不相交轮换分解的任何一个轮换不相交,等式是显然的。 否则若有一个相交元素,容易计算出 的长度相对增加了,故符号改变了。 若有两个相交元素,考虑 计算轮换的长度减之和,右边比左边的少.对于另一种情况 计算轮换的长度减之和,右边比左边的少. 故我们立即得出命题。 ◻
同态的核我们记作,称作元交错群,也就是全体偶置换组成的群。作为一个推论,.
练习 1.41. 证明一个置换的阶等于它的不相交轮换分解中的所有轮换长度的最小公倍数。
练习 1.42 (). 对中所有的元素进行共轭类分类,并找出它所有的正规子群。
直积
我们可以用老群来构造新的群,一种非常简单的构造就是直积。设都是群,我们要赋予笛卡尔乘积群的结构,最简单的方法就是把它的乘法定义为分量乘法,即 这样一来群中的幺元素就是,的逆就是.这个群我们就记作.如果都是Abel群,有时这个构造记为直和,群运算用加号代替。
练习 1.45 (). 证明有 事实上,当是奇数时都有
群的作用
基本术语
群本质上是对称群/变换群/作用群的抽象结构。本章我们就来研究群的作用,即将抽象的群的元素实现为具体的变换/作用。比方说,循环群这种对称结构如何作用在各种对象上?我们知道,它可以实现为正多边形的旋转,即有群同态 其中的生成元被映射到某个单位旋转。也可以这样描述这种作用:将正边形的旋转理解为顶点集上的一个置换,从而得到(单)同态 其中的生成元被映射到轮换. 我们研究群的尽可能广泛的作用,就是考虑群到尽可能大的一类变换群的同态。一般考虑的大的一类变换群主要是两类:置换群和矩阵群。研究到矩阵群的同态的是群的线性表示论(简称群表示论)。我们研究群在集合上的作用时,就主要是研究的到置换群的同态。以 记集合 上的所有置换,即所有单满映射,称之为 的对称群。那么我们称群 在集合 上的一个作用就是指一个同态(不要求是单同态或满同态) 这也称为群的一个置换表示,简称表示。也就是说,将成为集合上的一个变换(置换),单满射,即.这个变换可以作用在上得到。这种记号比较严格,但过于冗长,给定了同态后不妨把想象为一堆“算子”,直接用表示.
我们先来给出群作用基本的术语。如果是单同态,就称这个作用是忠实的(faithful),也就是说,这个作用不会把群中的两个不同元素变成相同的变换。对于,集合 称为的轨道(Orbit)。容易证明,属于同一个轨道,也就是存在使得,是一个等价关系,这一点与是群密切相关。如此而来,中的元素划分为一些不相交的等价类的并,也就是不相交的轨道的并。如果只有一个轨道,我们就称这个作用是传递的(transitive),这也就是说,任何一个 都可以被 中的某一个作用映到任何一个给定的.
轨道公式
定义 2.1. 给定了群在集合上的作用,我们用 记中所有保持不动的变换。这是的一个子群,称之为的稳定化子(Stabilizer).
练习 2.1 (). 有一个比传递更强的概念,叫双传递(doubly-transitive),它是指对任意的,存在使得 证明:在上是双传递的当且仅当对所有的都有在上是传递的。
既然是个子群,我们就可以作陪集分解 其中,每个陪集在上的作用全部一致,都是.并且不同的陪集显然给出在上不同的作用,否则.我们立马得到了如下简单而基本的轨道公式(计算轨道长度)
由于划分为一些轨道,我们以记每个轨道的代表元素,则显然必须有 不要小瞧这个轨道公式,有了它,我们就有了计算一些对称群的阶数的方法,因为.
例 2.1. 我们计算.取正边形的某一个顶点,由于作用是传递的,.而中只有两个变换保持不变,平凡变换和某个反射(轴对称)变换。故
练习 2.2 (). 计算正四面体的对称群的阶数。
例 2.2. 设, 我们计算如下双陪集集合的元素个数 考虑在上的如下作用: 不难看出,就是在该作用下的轨道。于是根据轨道公式, 我们考虑 .于是
另外,我们马上能得到如下计算轨道个数的公式,对的任何子集我们引入记号 则我们有
定理 2.2 (Burnside). 轨道的个数有如下公式
练习 2.3 (). 设传递地作用在上,.则一定存在一个没有不动点。
练习 2.4 (). 设是一个阶数为的群。证明若作用在集合上,则有
表示的核
我们来求,这一般是重要的,因为这样,由同态基本定理,同构于置换群的某个子群。
是什么呢?就是那些固定所有元素的,因此 如果这个作用是传递的,就有 与有自然的关系。固定的那些变换,稍微改一改,也可以拿去固定.这只需要先复合一个,再施加,再复合.换而言之我们发现 反过来一样有 因此我们发现 因而,在作用是传递的时,有 这是一个正规子群。这事实上也启示我们如下平凡的命题:设,则
常见的作用(表示)
群不光可以作用在其它对象上,它很多时候可以自然地作用在自己的某些结构上。在群论的研究中,这是一种极为重要,朴素而强大的方法。我们举几个简单的例子。
共轭作用
群以共轭作用作用在群上,也即
练习 2.5 (). 能否将共轭作用定义为 为什么这样定义不行?
关于这个作用的轨道就是共轭类,容易看出,作用的核.对于,其稳定化子我们记作,这是 的一个子群。我们把这个情形下的轨道方程 称之为群的类方程。值得注意的是,有些元素可能轨道长度为,也就是只与自己共轭的,中心元素,.如果设,其中是某个素数,则有 易知必是的倍数。故此时的必须是的倍数,因此.换而言之我们得到了结论
练习 2.6 (). 若以记群的共轭类的个数,证明,有
练习 2.7 (). 记号如上,本题中设是非Abel群,证明有 等号能取到吗?进一步,证明,若是最小的素因子,则有
练习 2.8 (). 上题中最后的不等式,对任意素数,等号能取到吗?
正则表示(作用)
群以(左)乘法作用在群上,也即 即将自然地视为一个上的置换.这是一个忠实表示。
我们马上得出Cayley定理:每个群都同构于某个置换群的子群。这看起来似乎弱智无比,但是就是这样朴素的观点我们可以得到非平凡的结论,我们举一个例子。
命题 2.2. 设是阶群,那么它一定有一个指数为的正规子群。
Proof. 考虑群的左正则作用 由于这是忠实表示,我们可以把与等同起来。 那么,每个都是一个上的置换,由于群乘法具有逆的原因,除非,这个置换不可能固定任何群中的元素(.) 因此可以将写为一些长度大于的不相交轮换的乘积。现取为群中的一个二阶元素,由前面的习题我们知道在偶数阶群中这是一定可以取到的。因此,分解成个不相交的对换的乘积,因而是奇置换。于是我们证明了中有奇置换,因而中的所有偶置换构成一个指数为的正规子群。 ◻
诱导表示(陪集上的表示/作用)
给定了群的一个子群后,有(左)陪集集合,群可以自然地作用在上。 这称为(左)诱导表示。它显然是传递的。它的核是 并注意事实上有.运用这个表示可以得到很多厉害(其实很简单)的结论。
例 2.3. 设是无限群的一个具有有限指数的真子群,那么一定有一个具有有限指数的真正规子群。
Proof. 考虑在陪集上的诱导表示 由于是有限的,我们完成了命题的证明。 ◻
以下是另外一个典型的应用
Proof. 考虑在陪集集合上的诱导表示 由于有同构于的一个子群,因而必须有是的因数。现在由于,我们有 是的倍数。由于是的最小素因子,我们知道是或的倍数。若不是,必有,这不可能,故 ◻
练习 2.10 (). 设是大于阶的单群,,证明.
循环群的作用:Cauchy定理
本节我们看一个群作用的强大威力的例子,我们证明如下的柯西定理:
定理 2.3 (Cauchy). 设是的一个素因数,则中有阶元素。
在开始看证明之前我们来理解一下思路。的情形已经作为一道练习题做过了,还记得做法吗?大家的做法,估计就是对中的元素配对,和配一对,二阶元素和是相同的,就无法配对,最后因为群的阶数是的倍数,配了对的元素个数也是的倍数,我们得出满足的元素个数有偶数个。由于,我们知道一定有二阶元素。
不过,这个证明初看起来似乎并不能推广到的情形。但是,如果你用群与对称的观点重新叙述上面的证明,你马上就可以看出如何作推广。我们要将上述证明中出现的现象理解为一种对称性,那么就一定要有对称变换。我们观察到的现象是什么呢?那就是在所有的有序对集合上,有一种对称变换.这就是群在该集合上的作用。那么拆分为一些轨道的并。而在该作用下轨道的长度为等价于说也就是,由轨道方程 轨道公式表明轨道的长度只能是或,我们立刻得出是的倍数。现在,我想,如何推广这个证明已经至为显然。
Proof. 设,并设是群的生成元,考虑群在上的如下作用 其中是把映到的映射。
我们需要验证,这可由得到。现在由轨道方程 我们立得是的倍数,由立即知道群中存在阶元素,而且至少有个。事实上,可以得到更强的结论:阶元素个数是的倍数。 ◻
练习 2.12 (). 设是阶Abel群,按如下提示,证明.(由柯西定理,中有阶元素。从而.)
练习 2.13 (). 设是阶非Abel群。按如下提示,证明有,从而只有两个阶群:和.
先证明
证明中必恰有个阶元素。
考虑在集合上的共轭作用,其中都是阶元素。(需先证明这是上的作用。)
证明能生成群,由此证明上述作用是忠实的。同态基本定理给出.
在子群上的共轭作用
设是一个子群,容易发现,也是一个子群。因为映射是自同构,而自同构限制在子群上还是同构,其像必然为群。我们称子群与共轭,如果.那么容易看出,可以以共轭作用作用在它的一些子群上。容易看出,一个子群可以有很多个共轭子群,而的正规子群就是那些在 的共轭作用下不变的子群,也就是只与自己共轭的子群,这时它单独组成一个共轭类。
对于,我们以记号表示,称为的正规化子。容易看出,的稳定化子是,从而有共轭类的大小为
练习 2.14 (). 设,证明的非正规子群个数是的倍数。
群在计数问题中的应用
如果要给一个立方体的两个面涂上红色,有多少种涂法呢?初看起来似乎有 种涂法,但是事实上很多种涂法都是相同的,它们之间只是差一个旋转而已。换而言之我们发现在对称的物件上涂色,只需考虑该物件的对称群,并让这个群作用在所有可能的涂色集合上。想知道两种涂法是不是一样的,只需看它们在不在一个轨道里。故,若要知道本质上不同的涂色有多少种,只需数轨道的个数就可以了!而Burnside定理提供了一种方案。
我们举一个简单的例子来说明这个方法。考虑这样一个计数问题:在长度为的圆圈形项链上染色,有种不同的颜色可用。两种染色如果在旋转,翻转(轴对称)下是相同的,则视为一种染色。有多少种不同的染色呢?我们考虑群作用的空间 并让以如下方式定义作用在该空间上:
.
容易看出由于中的元素都能表示为的形式,只需定义在上的作用即可。不难验证上述定义确实给出了在上的一个作用(需要验证的作用是平凡的)。那么现在我们的问题就等价于计算中的轨道数目,由Burnside定理, 现在来考虑的大小。首先可视为的子群,它事实上是以下标置换的方式作用在上。于是可设在中的不相交轮换分解: 其中是一些不相交的轮换,长度为. 比如, .
如果要固定一个,即,我们可以得到 即.由自然有, 从而.这表明在轮换的所有分量中对应的位置必须为相同的涂色。类似的,在所有轮换上都能得到相同的结果,从而, 注意考虑轮换时要包含轮换.
注意到在的同一个共轭类中的元素的轮换分解形状是相同的,一般来说只需要找出中所有共轭类并将其轮换分解算出即可。在本例中,我们可以考虑 注意到, 因此当为奇数时,所有都是共轭的,于是与一样,形如 都有个轮换。当为偶数时可能分为两个共轭类和, 分别与和一样,分别具有和个轮换。
对于中的元素,在与互素时都是长度为的轮换。当他们的最大公因数时,是个长度为的轮换之积。回忆我们之前在循环群一节说过对于的因子, 阶子群的生成元,也就是满足的元素的个数为欧拉函数,于是现在我们可以得出的计算公式
练习 2.15 (). 假定在长度为的项链上,要求只用两种颜色且每种颜色必须恰好使用个珠子。有多少种不同的染色方法?
Sylow定理
Sylow(西罗)定理可能是初等群论中最重要的一个定理,它也是群的作用的一个精妙的应用。
定理 2.4 (Sylow). 设是群,,素数.那么有:
存在阶的子群,称为的Sylow-子群。
以记的阶子群的个数,,有
所有Sylow-子群互相共轭,因而有.
值得注意的是,一般的子群未必是互相共轭的。
Proof. 令(没有要求与互素,即不要求是极大的),我们来考虑中所有元子集,其全体记为,有 现在可以考虑在上的左乘作用: 我们将拆分为一些轨道的并 并有. 由于我们可以分解 于是有以及 . 注意到一定形如的某个次方,并且当且仅当形如, 其中是的一个阶子群, .于是当且仅当中恰好包含了一个阶子群,这表明 于是
现在只需计算左边的数模的余数。首先它等于,于是等于表达式第次的系数。在模的形式幂级数环中考虑该表达式,有 我们得出所求系数模为,于是我们得到所需命题。当然,也可以用其它方法算出该数,比如直接计算,或者考虑为循环群的特殊情形,我们知道此时必有,但等式左边的数与群无关,只与群的阶数有关,这就直接给出了所需结果。
现在我们来证明所有Sylow-子群是互相共轭的。首先,在所有Sylow-子群上有共轭作用,并且每个轨道的阶数必然与互素。取是的一个Sylow-子群,考虑在全体Sylow-子群上的共轭作用。于是在的作用下不动等价于说.此时考虑投射,由于商群的阶数里没有,而中的元素都是阶的,我们知道这个投射的像必然是,于是得到,因此. 这表明只有自己在该共轭作用下不动,其它轨道都是长度为的次方。但是的共轭作用下每个轨道都不被整除,因而其每个轨道限制在上作用时,必然出现长度为的轨道,而我们已经证明只有自己在共轭作用下不动,于是只能有一个-轨道。 ◻
推论 2.2. 如果, 与互素,且有唯一的一个Sylow-子群,则这个子群是正规子群。
推论 2.3. 如果, 与互素,则是的因数且形如.
例 2.4. 我们来证明,阶群一定是循环群。根据Sylow定理可以考虑的两个分别为和阶的Sylow子群和.并且有 并且是的因数。但满足同余式的数只有.同理我们发现,因此对的所有因数都只有一个阶子群,它必然是循环群。
练习 2.16. 设是阶群。证明它有一个正规的阶子群。
练习 2.17 (). 设是的一个Sylow-子群,证明,若或者,则是的一个Sylow-子群。
练习 2.18 (). 证明,若, 是的一个Sylow-子群,则存在使得是的一个Sylow-子群。
练习 2.19. 找出的所有Sylow-子群和Sylow-子群。
练习 2.20 (). 试找出的所有Sylow子群。
就像我们已经看到的那样,Sylow定理经常和共轭作用联合使用,这是因为它们之间有天然的关系:Sylow-子群是互相共轭的。除了Sylow定理最常见的数字上的应用必须熟练掌握以外,和共轭作用联合使用往往能得出非平凡的结论。
运用Sylow定理寻找正规子群
寻找正规子群很重要,通常可以用来分类群的结构/证明一个群不是单群。 而Sylow定理一个常见的应用是用Sylow定理来寻找正规子群,以下是利用Sylow定理寻找正规子群的常见的方法。
取使与互素, 计算Sylow-子群的可能个数,它满足
如果,则由Sylow定理我们知道.
若, 则可考虑对每个的素数,对应的所有所占的元素个数至少为, 有可能利用这一点说明不可能有这么多Sylow子群。
若, 还可考虑两个Sylow子群的交, 如果则一定有(因为), 并且有 从而, .
还可考虑群在上的共轭作用,其核可能为的非平凡正规子群。
例 2.5. 我们证明,阶群不是单群。考虑它的阶子群的个数,有或.若,考虑在这四个Sylow-子群上的共轭作用 而因此不可能是单射,并且由Sylow子群在的共轭作用下传递我们知道上述作用不是平凡作用,于是构成了的一个非平凡正规子群。
还有另一种证明,若,考虑.由于我们知道必然有.但是,于是有包含了生成的群,故而是的非平凡正规子群。
运用Sylow定理与共轭作用
如何来综合运用Sylow定理与共轭作用呢?如下引理描述了共轭作用如何与Sylow子群相互作用。
引理 2.1. 设是某个子群,作用在所有的Sylow-子群上,则单独组成一个轨道
Proof. 有一边是显然的,我们来证明另一边。设且是阶元素,则.由于, 考虑在投射 下的像,由于显然与互素,其像只能为单位元,故. 这足以证明命题。 ◻
命题 2.4. 的每个方幂阶的子群被某个Sylow-子群包含。
Proof. 考虑用共轭作用在的所有Sylow-子群上,则其轨道长度为或的倍数。由于Sylow-子群的个数是, 我们知道一定有一个单独组成一个轨道,因而由引理. ◻
命题 2.5. 设是一个子群,则包含它的Sylow-子群的个数.
Proof. 让作用在所有Sylow-子群上,等价于的轨道长度为. 由于所有Sylow-子群的个数, 我们有 ◻
有限生成Abel群的结构
我们来研究所有能被有限个元素生成的Abel群的结构。注意不是所有Abel群都是有限生成的,比如就无法被其中有限个元素生成。 最简单的有限生成Abel群的例子是所谓元自由Abel群,其由个元素生成:它也可以称为自由模:模和Abel群是同一个概念。
设Abel群能被其中有限个元素生成,那么可以定义如下群的满同态 那么,根据同态基本定理,就有.于是,我们的目标便在于研究,的所有子群长什么样,由此我们可以知道所有可能的商群。
先看的简单情形,我们知道的子群只有和而已,.于是的非平凡子群都是同构于的。
我们将在第四章证明如下(本质是线性代数)的重要结果
定理 2.5. 的子群一定是自由Abel群,即同构于并且有.事实上,设则有一组以及一组非负整数使得且
推论 2.4. 所有的有限生成Abel群都同构于某种
推论 2.5. 所有有限Abel群都是有限循环群的直和。
半直积
半直积是一个群论中常用的重要概念。如果, 则可以构作商群.我们可能会想,会不会有成立?对于绝大部分情形,这是不成立的。例如,读者可以考虑的情形,显然.
如果能够自然的实现为的一个子群,即存在在自然投射下刚好是同构的,即合成 是同构映射的话,我们可以断言一个稍弱的命题:是和的半直积,即. 让我们来说明这一点,我们可以从和把重新构造出来:每个在中有一个像, 那么, 也就是说,,显然这样的表示法是唯一的. 由于, 上的乘法运算也可以由在上的共轭作用恢复出来: 这启发我们从和以及(共轭作用)同态 在集合上定义一个如下的群结构: 群中的幺元是,逆元是. 可以验证这样的定义满足结合律,于是在上述乘法下构成一个群,我们记作,称作和的半直积。
例 2.6. 根据的选取有两种可能:
若为常单位值同态,则.
若 为将映射到中唯一非平凡的自同构的同态,则有
我们给出下面一个简单的判别法
命题 2.6. 若,并且以及则有 其中就是在上的共轭作用。
Proof. 从以及可以看出每一个元素都可以唯一的表示成的形式。因此由半直积的构造我们知道,可以定义明显的同态 它显然是单满射。 ◻
值得注意的是,虽然在半直积中,的选取有很多种可能,但是不同的选取可能作出同构的群。(事实上,同一个群也有可能有不同的半直积表示。)为了应用中方便看出这些同构的群,我们给出以下两个判别法 来判断.
命题 2.7 (的对称). 如果存在 使得对所有的 都有 或者等价的说,有交换图表
那么就有 .
Proof. 构作同态 首先验证它是一个同态,我们有 它显然是单满射。 ◻
完全类似的我们有如下命题
命题 2.8 (的对称). 如果存在 使得对所有的 都有 或者等价的说,有交换图表
那么就有 .
练习 2.27 (). 找出所有阶群,都是素数。证明最多只有两个不同的同构类。
练习 2.28 (). 若,其中是一个素数,证明的共轭类个数满足 其中表示的阶,即使的最小数。
练习 2.29 (). 若是循环群,并且与在中共轭,证明 (提示:证明有使.)
的所有群
这一节将包含相当多的例子:我们将分类所有阶数不超过的群,即在此中找出所有不同构的群。首先,应当注意到,是素数时,阶群仅有阶循环群这一个。于是还剩下这些阶数。我们已经证明阶群只有两个,和.现在考虑如下命题
命题 2.9 (的情况). 设是两个素数,是阶群,则
若,则或.
若,则.
Proof. 由Sylow定理指出阶循环子群,记为,是的正规子群。取是的一个Sylow-子群,由于显然以及我们得到,其中 这表明,若, 上述映射必然是平凡的,于是 若, 考虑非平凡的选取,这样就成了单同态。但在中的嵌入像只有一个,于是这些非平凡态射之间只差的一个自同构。于是使用的对称引理告诉我们它们导出的群都是同构的。 ◻
于是要讨论的主要难点集中在这两个阶数上。
阶群的分类
交换的阶群只有, 以及.下面我们来研究非交换的阶群。由Sylow定理可知有个阶子群。不可能有个,否则将至少占用个元素。因此只能有个或者个。
如果只有一个阶子群, 必然有,否则若, 中将没有阶元素,推出的元素都是阶于是是Abel的,这与我们讨论的情况无关。那么现在.设, 则必然有, 共轭作用的非平凡选择只有一种。但实际上有个阶子群
如果有个阶子群,注意指数为的子群都是正规的。由柯西定理我们任意取一个阶元素,如果它不属于某一个阶子群,必然是半直积,于是可能为,这就是上面的.如果是的情况,取我们发现这还是.
现在设所有二阶元素都属于所有阶子群,由于这些阶子群中至少有一个是(否则中只有二阶元素就Abel了),我们推出只有一个二阶元素.这将表明所有阶子群都是形如的。设是它们分别的生成元,则有.现在考虑元素,它不可能属于或, 否则若就能推出,这将表明,这不可能。于是必有, 如果则有.如果,通过重新选择为我们可以化归到上一种情况。这些关系已经决定了群,我们记这个群为,称为四元数群。事实上,这个群正是由四元数体中的所生成的 现在我们来说明不同构于,这只需注意到中有个二阶元而中有个。
阶群的分类
对于阶群,Abel群容易看出只有这两个。现在只需考虑非Abel群的情形。对用Sylow定理可知,有个或个正规的四阶子群, 还有个或个三阶子群.现在可以看出, 其中或者并且考虑为非平凡同态(平凡同态则得到直积,就是我们提到的两个Abel群了)。
先假设它有一个正规的阶子群. 若, 考虑,则必然是平凡的。
若, 我们知道是中个阶元的置换群,则考虑映射映到的唯一一个三阶子群. 于是可看成的同构,从而不同的选取只差一个中的元素,由的对称引理可知它们导出的群是同构的。事实上,这个群并不是陌生的新群。
现在来考虑它有个阶子群的情形,由于这个四阶子群必定占掉个元素,因此不可能有个阶子群,因为个阶子群将至少占去个元素。我们推出此时只能有一个阶子群,因而它是正规的。 若, 只有一种非平凡的半直积.
如果, 那么.容易看出只有三种非平凡的映射可以选取。但这三种选取只相差的一个自同构,于是决定了相同的群 .事实上它就是.
现在我们来证明既不是也不是.由于中没有阶的正规子群,不可能同构于.而中没有阶元素,所以也不可能同构于它。
小阶群表
将我们的讨论以表格的形式总结起来,我们有如下所有不超过阶的群的表格
环与域
定义和例子
从运算的角度讲,群是一个带有“乘法运算”的集合。当这个群是交换群时,这个运算通常写作加法。如果我们在集合上考虑加法与乘法两种运算呢?比如在加法下是一个Abel群,但同时还有乘法的结构。这是一种新的代数结构,叫做环。当然环上的加法和乘法不能随便给定,它们需要互相兼容,满足一些合理的运算性质。完整的定义如下
定义 3.1 (环). 一个集合附带两种运算和叫做环(ring),如果在运算下构成一个Abel群,并且对任意的满足
(结合律)
(分配率) ,
存在乘法幺元满足.
这里像通常一样约定了乘法的运算优先级高于加法,并且省略了字母之间的乘号。在环中,我们用表示加法幺元,表示乘法幺元。
值得注意的是在环的定义中我们不要求乘法一定是交换的,我们只要求加法一定是交换的。如果乘法还具有交换律,我们就把称为交换环。
定义 3.2 (域). 如果是一个环,并且任意非元素在中都有乘法逆满足 则我们称是一个体。如果的乘法交换,则称是一个域。
在环中,非零元素不一定有乘法逆。如果非零元素有乘法逆,我们就称是单位。
环与域的概念在代数中有很多的例子,我们举几个常见的例子
例 3.1. 全体整数在通常的加法和乘法下构成一个环。
例 3.2. 全体有理数, 实数, 复数在通常的运算下都构成域。
例 3.3. 以整数为系数的所有的多项式构成的集合 在通常的多项式乘法和加法下构成一个环。类似的可以定义任何一个环上的多项式环 这也是一个环,其加法按通常的定义给出,乘法按 定义。容易验证其满足结合律,分配率。
例 3.4. 设是由所有有限字符串组成的集合,定义是这样一个环,它由所有字符串(还有)的有限形式和组成,比如 加法按自然的方式给出,乘法由字符串的连接给出: 在这个定义下,构成了一个非交换环,例如而.
练习 3.2. 全体自然数在通常整数运算下构成一个环吗?
练习 3.3 (). 验证集合在通常运算下构成一个环。
练习 3.4 (). 考虑集合 它是一个环吗?是一个域吗?
练习 3.5 (). 设是由如下规则定义的一个环,其乘法由 确定。称为四元数代数,请你验证它是一个体。(提示:考虑)
类似的,我们也需要研究环与环之间的关系,就像群同态一样,可以定义环的同态和域的同态,它们需要保持运算结构和幺元。
定义 3.3 (环同态). 一个环之间的映射称为环同态,如果满足
(Abel群同态)
(保持乘法)
(保持幺元) .
如果还是单射,则称为单同态。如果还是满射,称为满同态。如果有一个同态逆,则称为同构。 域同态也按环之间的同态来理解。
例 3.5. 设是一个域,, 可以定义一个多项式赋值同态 将多项式映射到它在处的值.
理想
理想这个概念最初是Kummer提出的。提出这个概念是为了挽救在许多数论中考虑的环里面,没有像整数一样优美的唯一分解律:任何整数都可以唯一分解为一些素数的乘积。在一般的环中,素分解不一定是唯一的。Kummer发现,如果引入“理想数”的概念,理想的乘积仍然可能满足唯一分解律。
简单地来说,理想就是倍数集合。比如对于素数可以考虑的所有倍数构成的集合, 叫做生成的理想。这个倍数集合最本质的特点是具有倍数的“吸收性”,即对任何都有.这就引出了如下理想的概念
定义 3.4 (理想). 环的一个Abel子群叫做左理想,如果对任何都有.如果条件改成,则称为右理想。如果既是左理想又是右理想,则称为双边理想。注意到在交换环中,不需要考虑左右理想的概念,所有理想都是双边的,于是在交换环中左,右理想都简称为理想。本身是一个理想,称为平凡理想,不等于的理想则称为真理想。
理想的一个重要用途就是可以用来构作商环,就像定义商群一样,给定环和一个双边理想我们可以定义陪集集合 这首先是一个Abel群对于子群的商群,其元素为陪集或理解为在所确定的等价关系的一个代表元。其乘法只需要从大环遗传过来就可以了,即规定中的乘法为 容易验证由于理想的吸收律,作为中的子集,乘积.故上述乘法是定义良好的(不依赖于代表元的选取)。
例 3.6. 考虑环的理想, 关于这个理想作的商环为所谓模的剩余类环 作为加法群,这是一个阶循环群。作为环这是一个有限的环,其中加法幺元素为, 乘法幺元素为.这个环的数论含义是所有整数在模意义下的个剩余类构成的环。值得注意的是,当为素数时,事实上是一个由个元素构成的有限域。
练习 3.7. 对于一列理想我们可以定义它们的和:为如下理想 证明这是一个理想。对于有限个理想我们可以定义它们的积 为 证明这也是一个理想。
练习 3.8. 按如下步骤,证明数论中的费马小定理
设. 证明对任意, .
由此得出有乘法逆,即是域,有时记为,称作元有限域。
证明是一个乘法群,从而对任意, .
素理想
理想这个概念是从数论里面得到的,那么自然的,它就会和许多算术概念产生联系。在数论中,用来证明自然数分解成素因子的乘积的唯一分解律的最重要的一步是证明素数具有如下称为欧几里得引理的性质:设是一个素数,如果, 那么和至少有一个成立。从理想的角度讲,是的倍数集合,它是的一个理想。这时有 我们可以把这个概念推广到任何一个环,如果环的一个真理想满足上面的性质,就把称为素理想。即,如果 那么就叫素理想。对于一个交换环, 它的所有素理想构成的集合一般记为.注意平凡理想不是素理想,这一点属于约定,原因和约定不是素数类似,这种可逆元应该叫做单位,而不适合叫做素数。
练习 3.9 (). 我们称环是整环,如果在内能推出或. 证明:设是的一个双边理想,证明是整环当且仅当是素理想。
练习 3.10. 设有环同态, 证明,素理想的原象一定是素理想。即若是的一个素理想,那么是的素理想。
另一个有用的概念是极大理想,环的一个真理想是极大理想(左,右,双边)是指,环中没有包含的更大的真理想(左,右,双边).我们说明几个极大理想的简单性质
命题 3.1 (极大理想必为素理想). 设是的一个极大理想(双边),则也是的一个素理想(双边)。
Proof. 否则,可设但.考虑 由于严格大于,根据假定它们只能等于平凡理想。于是得到 这与是极大理想(根据定义一定是真理想)矛盾。 ◻
命题 3.2. 任意非单位元必然被包含在某个极大理想中。
Proof. 考虑由生成的(左)理想, 由非单位,我们知道.于是是真理想,对包含它的所有理想的集合用Zorn引理那么可得它被包含在某个极大(左)理想之中。 ◻
练习 3.11 (). 证明:设是的一个双边理想,证明是域当且仅当是极大理想。
练习 3.12 (). 设被包含在所有极大理想之中,证明是单位。
同态的核与像
就如同群同态的核与像,对于一个环同态, 我们可以定义 以及
练习 3.13. 验证核是中的双边理想,像是中的一个子环。
我们有显然的同构定理
定理 3.1 (第一同构定理). 给定一个环同态,它将诱导一个环的同构
Proof. 这个同构由 定义。它显然是良好定义的,因为的像是0. 如果,那么,故它是单射。满射也是显然的。 ◻
定理 3.2 (对应定理). 设是一个双边理想,是自然的投射,那么的所有理想与中包含的理想一一对应。
练习 3.14. 证明,域的理想只有平凡理想和零理想.说明从域到任意环的同态只能是单同态或者零同态。
Noether性质
如果环中所有理想都是有限生成的,即任何理想都可以表示为 的形式 (右理想则换成),这里,则我们说是一个Noether环(左,右,双边),这是环论中一个重要而基本的性质,我们研究的大部分环都是Noether的。 关于Noether性质,有如下经典的等价表述
定理 3.3 (Noether性质). 以下三条等价(关于左,右,双边各有一个本定理,不再赘述)
是Noether环
的任何理想的上升链 必然停止,即存在使得.
的任意由理想组成的非空集合必有极大元,即存在使得
Proof.
设, 容易证明这是一个理想。于是是有限生成的,设它由生成,由定义,可设,那么当时,,故升链在此停止。
否则,存在一个严格递增的无穷长升链,与矛盾。
令是任意理想,设是所有有限生成的被包含在内的理想组成的集合,那么可以取出极大元. 如果, 存在但是, 考虑是一个有限生成的理想,它严格比大,这与的定义矛盾。因此. ◻
练习 3.15. 证明,一个有限环必然是Noether的。
练习 3.16. 证明,如果是Noether的,那么也是,这里是一个双边理想。从而得出的任何同态像也是Noether的。
下面的一个基本定理说明了很多环都是Noether的。
定理 3.4 (Hilbert基定理). 如果是Noether的,那么也是。
Proof. 设是中一个(不妨设为左理想)理想,那么记 显然有一个理想的上升链 根据的Noether性,全都是有限生成的,并且这个升链必然停止。设 那么取出的生成元对应的多项式, 我们证明都能由生成。设它的头系数出现在中,, 有 次数严格小于. 如果它不为,可继续取出某个, ,使得 次数严格小于.如果它不为,这个过程还可以继续。但由于次数是一个非负整数,这个过程必然停止,最终可以得到 这便证明了命题。 ◻
主理想整环中的算术
这一节我们假定所有的环都是交换环。此时不需要再区分左右理想和双边理想,统称为理想。 设,我们定义理想记号 表示由生成的理想。如果一个理想可以由一个元生成,即,那么我们称它为主理想(principal ideal)。如果有一个整环的所有理想都是主理想,那么我们称它为主理想整环(principal ideal domain),简称为PID.
Proof. 设是的一个非零理想,并设, 如果, 证明完成。否则设使得不整除,那么考虑带余数的除法 由此得到. 如果内元素全部能被整除,那么我们完成证明,否则可以继续取出一个不被整除的元素并重复这一过程,得到一个比更小的正整数属于.但是正整数,这个过程无法无限进行下去,一定会有一步的使得且所有中的元素都能被整除。由此得到是主理想。 ◻
推论 3.1. 设是的最大公因数,那么存在整数使得
Proof. 根据定理,是主理想。显然。但是由同样有,于是整除的最大公因数这表明 故,存在使得 ◻
设是一个一般的整环,就像我们定义素数一样,我们称一个非单位元是不可约元,如果只能推出至少有一个是单位。而我们称是素元,如果是素理想,即或.我们知道,在整数环的情形,不可约元和素元是等价的,但在一般的整环中这是未必等价的。有趣的是,在PID中这是成立的。
练习 3.17 (). 证明,在PID中不可约元和素元等价。
我们来说明主理想整环在算术上具有非常良好的性质:
定理 3.6 (PIDUFD). 我们称一个整环是唯一分解整环(Unique Factorization Domain),简称UFD,如果其中每一个非零元素都可以以唯一的方式写成不可约元的乘积(在不记顺序,单位的前提下). 我们有:是PID是UFD. 作为一个推论,UFD中不可约元和素元也等价。
我们先证明一个引理,它等价于分解的存在性
引理 3.1. Noether环中,对任意非零理想,存在有限个非零素理想使得.
Proof. 令是使命题不成立的理想的集合,则取出极大元, 那么不是素理想,否则是一个命题所需的分解。故存在使得, 有 注意到严格大于,根据的定义,它们存在分解,于是它们的乘积也存在分解,由此得出也存在分解,这与的定义矛盾。故为空集。 ◻
现在我们来证明唯一分解定理
Proof. 由引理我们知道,设,那么 这里是一些非零素理想。由于, 这表明存在使得 对于每一个,由于, 得到或者.我们将所有满足的逐个约去,直到所有的, 重新编号,可以写 如果不是单位,那么它被一个极大理想(是素理想)包含 推出要包含中的某一个,即但是由于是素理想,必然是不可约元,因此与相差一个单位,, 这与的定义相矛盾。故不被任何极大理想包含,它只能是单位。这就证明了分解的存在性。
至于唯一性,我们可以假定有两种分解 这里是单位,是素理想。我们可以从得出那么它们相差一个单位从而将其从两边约去。重复此过程直到某一边变成一个单位,另一边自然也不可能还留有素元。这证明了并且分解中出现的素因子在相差排序和单位的意义下完全相同。 ◻
练习 3.18 (). 试说明PID中,非零素理想都是极大的。
注意,虽然唯一分解性质看起来像是显然的,你可能会以为它在所有环中成立,但这是不对的。例如在中,有 这是的两种本质不同的分解。有趣的地方是,它们的分解中出现的因子是不可约元但不是素元。
练习 3.19 (). 证明,是中的不可约元,但不是素元。从而唯一分解定理在中不成立。
有趣案例:高斯整环
所谓高斯整环是指我们将用类似于的方法证明是一个PID从而是一个UFD. 我们定义环中的范数: 它描述了环中元素的’大小’。容易看出这个范数具有乘性,即.而这在算术上也有所含义
练习 3.20. 证明,如果都能写成两个整数的平方之和,那么也能。
引理 3.2 (高斯整环中的欧几里得除法). 设, 那么存在使得 并且.
Proof. 考虑复数的商,分别取为最接近的两个整数。 于是 其中,并且 故 ◻
Proof. 仿照是PID的证明,任取非零非单位元, 如果,可以取出并不断使用欧几里得除法使得余数的范数越来小,而这是一个正整数,这个过程必然停止,最终可以得到且中所有元素被整除。 ◻
我们来看是UFD这个事实的强大应用
命题 3.3. 我们证明,方程 只有这唯一一组整数解。
Proof. 在中考虑该方程,分解为 设是它们在中的最大公因数,有. 容易将分解为这里是单位而是不可约元从而是素元。如果包含或者作为素因子,那么就会是一个偶数,从而被整除,得到是一个形状的数字,这是不可能的,因为任何整数的平方除以的余数只可能是.因此是单位,即与互素。在UFD中,两个互素的数的乘积等于一个立方可以推出这两个数在相差单位的意义下都是立方,即可设 这里是单位。由于中的单位只有, 而, ,我们可以将乘进立方的括号里面,故可以假定.此时 因此必有这表明,故,只能是. 故是方程唯一的整数解。 ◻
练习 3.24 (). 证明不是UFD, 但是比它大一点的环却是PID.
域上的多项式环是PID
这个结论非常经典而重要,我们在这里还是给出它的证明。事实上这个证明仍然是类似的,由欧几里得除法给出
定理 3.7. 设是两个多项式,其中的次数,那么存在多项式使得 这里
Proof. 设, . 那么取 我们有 它的次项被抵消了。如果它的次数不低于的次数,设是它的下一个最高次非零项,可以取 我们有 如果它的次数不低于的次数,我们可以继续取下去,直到它的次数低于的次数为止,此时的记为. ◻
练习 3.25 (). 由两个变量生成的多项式环还是PID吗?为什么?
环的分式化和分式域
本节讨论的都是交换环。 对于一个整环,我们可以取一个乘性子集,即一个子集满足.不失一般性可假设, 定义环对于的分式化为 这个集合可以自然的赋予加法和乘法结构 两个分式视作等同当且仅当. 容易验证它构成了一个环。如果取,则把得到的分式化记作,称作的分式域。
定义 3.5 (整闭). 设有整环,记,如果存在中的元素满足一个首系数为的中的多项式方程 则称在上整。所有中在上整的元素叫做在中的整闭包,简称的整闭包,记作. 如果环在中的整闭包就是,称为整闭(integrally closed)的,也叫正规(normal)的。
例 3.7. 在中的整闭包就是,这是因为,如果是一个既约分数满足一个首一系数方程,可以乘掉分母得到 可得的每一个素因子都整除. 由既约的假定,只能没有素因子,即是单位,是整数。故是整闭的。
例 3.8. 设是一个无平方因子数,则 这是因为, 其分母不为,因为是无平方因子的。
练习 3.27. 验证在上整,从而证明不是UFD.
练习 3.29 (). 我们来考察一个分式化对素理想影响的例子。
对于环,列出它的所有素理想。
取,考虑环的分式化,列出它的所有素理想。
取素理想, 设, 证明这是一个乘性子集,并列出中的所有素理想。
练习 3.30 (). 可按如下提示,证明是UFD. 从而得出UFD不一定是PID.
设是的分式域,那么是域上的多项式环,从而是PID
将任意多项式放入中得到一个因子分解
在某些中考察该分解,这里是某些不可约多项式,注意到是域,也是一个.
证明是UFD.
初等数论在密码学中的应用
是一个阿贝尔群,它代表了模的个剩余类,并且在加法下构成一个群。如果我们考虑,即所有与互素的剩余类构成的集合,这个集合在乘法下构成一个群,并且其阶数为.根据拉格朗日定理,对任意都有,即对任意与互素的整数都有 这便是初等数论中的Euler-Fermat定理。这一定理在现代密码学中有着有趣的应用.
在公钥密码学中,人们希望实现如下目标:
我们需要在一个通信质量可靠,但信息安全不可靠的信道中通信。
我们希望只有发件人和收件人能解读信息的内容,任何在信道中窃听的第三方只能获得密文,而无法获得明文。
我们还希望这套加密通信体系不需要事先进行密钥分发。
以往古典密码学的最安全的加密方法是一次性密钥密码,即通信的双方事先准备好一串只有双方知道的超长的随机字符串作为一次性密钥,在通信前将密钥加到明文上去得到密文.由于是完全随机的并且与独立,的分布也是完全随机的,即其概率分布是平凡的均匀分布。故任何只获得了而不知道的人无法了解到关于的任何信息。收件方只需要计算即可。但是这个密钥只能使用一次,因为具有非平凡的概率分布,这导致多次使用同一个密钥是不安全的。因此双方事实上需要准备大量的一次性密钥,用完即扔。这样不仅不方便,而且密钥分发也是一个很难的问题:用完了一次性密钥之后你很难确保密钥能安全的(通过信道或线下分发)分发到对方手中。
现代密码学的开端,RSA公钥加密体系通过引入初等数论的方法和非对称加密体系的概念解决了这一问题。考虑一个由两个大质数乘起来的大整数,那么是一个阶数为的群。即对都有.事实上,对应的同余式 对都成立。这表明,如果我们取一对指数使得,就会有 对所有成立。于是我们可以用来加密信息,得到密文,然后用来解密,得到.注意这里加密用的密钥和解密用的密钥是不同的,并且它们之间的联系需要通过求解来得到。(根据理想理论,只需保证和互素即可存在).如果很大,将变得难以分解,而不分解就无从知道的取值(容易证明,在给定的前提下,知道等价于知道和)。于是我们可以构造出如下的不需要密钥分发的加密体系:
首先生成两个随机的,巨大的素数,
计算,
随机生成与互素的整数,并利用Euclid除法计算得到满足,
向外公布作为你的公钥,将保留为私密(私钥)信息,等信息保留或丢弃。
当有人需要向你发送加密信息时,他可以计算,并通过信道发送给你。
获得的第三方由于不知道,也不能分解,无法得知。
你只需要计算就可以解密出原始的信息。
模与线性代数
模的基本知识
模可以说是现代代数学里面最广泛和最重要的一种代数结构了。它可以视为所谓线性代数的自然推广,但所蕴含的现象远远超过了域上的向量空间。就像群可以以群作用一样作用在集合上,我们也可以让环作用在一个集合上。但我们希望环的加法,乘法都能自然地作用在这样的集合上。如果把环里面的乘法看成作用的复合,那我们还不清楚环的加法如何与这个作用配合,因此我们还需要一个加法的结构。于是这引出了模的定义:
定义 4.1 (模,多模,双边模). 设是一个环,一个-模是指一个阿贝尔群,并且定义了在上的一个(左)作用,即对, 可以定义出一个作用后的元素. 这可以理解为一个的映射,并且这个作用满足
(幺律)
(结合律)
(的分配律)
(的分配律)
我们就说是一个左-模,也记为. 类似的,如果定义了一种右作用,满足类似的性质,注意此时结合律应该换为.我们就说是一个右-模,也记为.
如果我们类比一下群作用时作出的定义,即群作用是一个群同态,那么也可以将上述定义理解为,一个左-模就是在一个阿贝尔群上的作用,即一个环同态. 这里代表到自身的群同态构成的环,它的乘法是Abel群同态的复合.那么每一个可以想象成一个上的算子,一个自同态,即. 因为是一个Abel群同态,-的分配律是自动满足的。幺律,结合律,-的分配律的成立由是环同态保证。
值得注意的是右模则是一个反同态,这个同态会将乘法的方向反过来,.
如果一个Abel群上定义了多种模结构,对一族环定义了左模的结构,并且对另一族环定义了右模的结构,那么我们称它们的作用可交换,或者说它们的作用是兼容的,是指, 以及 和 .如果这些模结构是互相兼容的,那么我们称是一个多模,具体的可以记成-模,或者-模,或者写成, 有时我们也写成.如果是一个多模,即既是左模又是右模并且两种模结构互相兼容,即 ,则称为双边-模. 在是交换环的情形,左-模和右-模统称为-模。
练习 4.1. 验证,环在自己身上的左乘可以看做一个左-模。类似的右乘是一个右-模,于是是双边模。
练习 4.2. 设是的一个双边理想,验证,在自然的左乘 右乘作用下是一个双边-模。
练习 4.3. 说明每一个Abel群都是-模,而-模自然也是Abel群。说明这两个概念的等价性。
练习 4.4. 说明对于交换环,一个左模可以按如下方式定义出右模的结构 为什么这个定义在不是交换环时不成立?
环可以很复杂,环上的模自然也可以很复杂,但有两类比较经典的模我们重点讨论,域上的模(向量空间),以及主理想整环上的(有限生成)模。
模的同态
定义 4.2. 设是两个-模,那么我们说一个-模同态是指一个Abel群同态并且满足. 对于右模的同态则修改为. -模同态也叫-线性映射。
对于多模同态,则需要与所有模结构兼容。
单同态,满同态,同构的含义是明显的,不再赘述。如果存在模同构态射,我们称同构,记作 由于右模的理论完全是类似的,以下大部分时候我们默认考虑左模。
对于的子集,如果它满足 我们称是的子模。对于任何子模我们可以构作商模, 其元素为陪集,作用定义为 容易验证该定义不依赖于陪集代表元的选取,并且满足-模的定义。
练习 4.5. 设是一个-模同态,证明是一个的子模,是的子模。 证明第一同构定理
练习 4.6. 设是的一族子模,证明 和都是的子模。
以下两个定理与群论中的同构定理证明基本相同。
定理 4.1 (第二同构定理). 设都是某个-模的子模,则和也是子模并且
定理 4.2 (对应定理). 设是的子模,则的子模与介于之间的子模一一对应。
正合序列
当我们有一系列模和模的同态时
如果,我们说这个序列在处正合。如果一个模的映射序列在每一处(除了最左边和最右边的端点)都正合,我们说它是一个正合序列。
练习 4.7.
是正合序列当且仅当是单同态。
练习 4.8.
是正合序列当且仅当是满同态。
例 4.1.
是一个模的正合序列,其中是乘以的映射,是投射。这里.
模的基本构造
本节我们来讨论如何从已有的模构造出新的模。我们已知的方法有,商模,模的交,模的和。
函子
给定两个左-模,我们可以将所有-模同态组成的集合记为.对于多模同态构成的集合则记为 . 如果我们要区分模同态的方向,有时候我们用这个记号,将左模同态的集合写成.对于两个同态, , 容易定义它们的和为 这显然也是一个同态,故,这说明是一个Abel群。值得注意的是,如果都是左模或者都是右模,没有多模的结构,那么它们的并没有自然的模结构,仅仅是Abel群(-模)而已。但如果至少有一个具有多模的结构的话,函子可以被自然的赋予模结构,我们来说明这一点。
的模结构
以下是两个环,如果具有左模结构和右模的多模结构,当我们需要明确标明模的结构时我们写为.
我们来举例说明具有左模的结构。这是因为我们可以对,定义 那么显然是一个左模同态(这里需要用到多模的定义:多个环的模结构需要互相兼容)。我们需要验证满足左模的定义,其它性质都是显然的,唯一需要仔细检查的是结合律 左边的同态是,右边的同态是,因此这是成立的,即在这个定义下成为一个左-模。
类似的一共有八种情况,我们将所有情况列出如下表格
群 |
自然的模结构 |
模结构的定义 |
|
|
|
|
模 |
none |
|
|
|
|
左模 |
|
|
|
|
|
右模 |
|
|
|
|
|
右模 |
|
|
|
|
|
左模 |
|
总结来说,就是有哪个方向的模结构,就会具有哪个方向的模结构。如果双模结构出现在上,作用会被函数从里向外复合反过来乘法的方向,导致模的方向发生改变。
练习 4.9 (). 确认你弄明白了表格中的所有情况。
自同态环
当时,记作,此时它具有自然的环结构,乘法是的同态的复合。
练习 4.10 (). 证明,是模,那么它具有自然的左多模结构。
的函子性
我们说函子是什么意思呢?所谓函子是现代数学范畴论中的一个抽象概念,它描述不同范畴之间的对象如何对应起来。它需要
将物件对应于物件
将映射对应于另一个映射或者.满足前者的称为协变函子,后者称为反变函子。
函子必须保持复合,即.
我们还要求函子将恒等映射对应到恒等映射,即.
作为例子,我们详细来说明如何构成函子。
对于一个固定的模,我们发现是一个反变函子,有时记为. 这个函子将模对应到Abel群,并且将模同态对应到阿贝尔群的同态 显然它保持复合和恒等映射。
类似的,对于固定的模,我们发现是一个协变函子,它将模同态对应到阿贝尔群同态 显然它也保持复合和恒等映射。
直和
给定两个左-模,定义它们的直和是集合作为Abel群的直和,加法为分量相加,的作用定义为 容易验证这个定义给出了一个-模结构。直和不仅仅限于有限直和,对任意一族由集合编号的模我们可以定义直和 如果对一列相同的模作直和,这个直和我们记作.
练习 4.11 (). 验证,如果是的两个子模,满足 那么证明有同构. 此时我们把称作的内直和。
练习 4.12. 证明我们有如下明显的正合列
这里设是子模,那么是自然的正合列。
直积
与直和类似,一族模的直积是由集合赋予自然的模结构得出的。区别在于直积中,我们不要求每一个元素的分量只有有限多个不为,任意序列都是允许的元素。类似的,如果对一列相同的模作直积,这个直积我们记作.
例 4.2. 考虑,而是两个模,那么是中的一个元素,但在中没有这个元素。 有自然的包含,是的一个子模。
练习 4.14. 证明如下称为直和的universal property,以及直积的universal property的自然同构 说明它们与这两句话等价
对任意映射, 存在唯一的映射使得 . 这里是自然的含入映射。
对任意映射, 存在唯一的映射使得.这里是到分量的投射。
自由模
由的任意数量个直和(可能是无限的)得到的模,或者与之同构的模称为自由模。比如(个的直和). 自由模的重要性在于它有如下好性质,任意从出发的模的同态都可以很容易被确定下来,只需要确定每个(第位是)被映射到哪里去,整个模的同态就完全确定下来了。因为中每一个元素都可以写成 因此 值得注意的是,的值怎么选取没有任何限制。即的确定完全取决于这个值的任意选取,或者说,取决于一个任意元素.这给出了如下自然同构
练习 4.15. 证明自由模的基本性质 注意可能是无限的,并且注意直和与直积的区别。
生成元与基
对于一个(左)模, 我们选取了一族元素之后,由可以定义出一个映射,暂时记为.这个映射的像称之为的-线性组合.我们说是的一组生成元,是指由是满射。即,任意都可以写成某个有限的的线性组合 如果存在一族有限的是的一组生成元,称作有限生成的。 我们说 是一组-线性无关组,简称无关组,是指它对应的映射是单射。即如果之间有任何有限个元素有任何线性关系 那么所有系数. 如果一组元素既是的生成元,又是的线性无关组,这组元素就叫的一组基.
练习 4.16. 说明,有一组基等价于与某个自由模同构。
练习 4.17. 给出一个非自由模的例子,于是它没有任何基,尽管它一定有生成元,但它们一定不是线性无关的。
标量限制
当我们有环同态和一个模时,我们可以通过自然的在上获得模的结构,即定义 这样的一个模结构叫做通过的标量限制,记作,或者,或者. 注意一般获得的模结构与原有的模结构并不一定兼容,因此不能说这是一个左多模。但当与交换时,这是对的。
练习 4.18 (). 设是左模,是上述同态。证明 给出的左模就是.
练习 4.19 (). 设, 是两个模,证明有一个自然同态
向量空间
考虑是一个域,由于域是交换环,模不分左右,我们把域模统称为-向量空间或者-线性空间。它们之间的-模同态称之为-线性映射或者-线性变换。
向量空间的基
线性空间最好的一点是,它一定有一组基,于是所有线性空间都同构于某个自由模。这使得线性空间非常好研究,我们来说明这一点。接下来我们设是一个-向量空间。
定理 4.3 (基扩张定理). 设是的一组无关组,是的一组生成元,满足,那么存在的一组基使得.
Proof. 如果有一列递增的无关组使得,那么显然也是无关组 并且满足.于是由Zorn引理存在一个极大的无关组满足. 我们来证明能生成, 即对应的映射是同构。否则,存在不能表示成内元素的线性组合, 那么由于是生成元组,有一个有限和,这里是有限集。于是一定有一个与无关,否则所有都与线性相关,由于是无关组,可以得到都能由生成,从而得到也能由生成,这是不可能的。但这样的话就是一个在里面的更大的无关组,这与的设定矛盾。故是一组基。 ◻
例 4.3. 考虑, 相当于平面上所有向量的集合,在分量的加法下构成Abel群。那么在的乘法下自然的构成一个向量空间 容易验证这个在该作用下满足向量空间(模)的四条定义。是它的一组基.
练习 4.20 (). 证明,对向量空间来说,以下说法等价
是的一组基.
是的一个极大无关组.
是的一个极小生成元组.
练习 4.21. 设,找出下面哪些是的基,哪些不是?
维数理论
如果有两组不同的基, 我们希望证明和是等势的,即它们之间存在双射。
有限的情形
如果都是有限的,设拥有较少的元素。我们对使用归纳法,证明。如果,,那么中任意元素都可以写为的某个非零-系数倍,它们无法是线性无关的,除非.
现在假定命题对于都是成立的,我们来考虑的情形。设, 由基扩张定理,存在一组基满足, 于是,从而以(的投射像)为一组基,其元素个数为.同理也以的投射像作为一组基,于是.
无限的情形
现在假定具有一组无限基从而,如果是另一组基,对于每一个, 都有某个有限的表达式这里至多有限个不为零。那么对任意,考虑有限集,由于能生成整个空间,对每个必有中向量在的系数上不为,我们有 由于是无限集,这就表明,于是由是无限的,我们推出两者都是无限的.于是对用同样的推理可知.
定义 4.3. 我们定义的维数是它的任意一组基的基数.
练习 4.22 (). 设有一族向量空间的正合列 利用基扩张定理,证明 由此推出以下维数公式
设,则
设是子向量空间,那么
.
设是两个子空间,那么
交换环上的矩阵
有限生成自由模
我们本节需要假定都是交换环。值得注意的是,自由模中,有一组标准基,即每个元素都可以以唯一的方式写为的形式。
如果一个模同构于,我们就说具有秩.但是我们还没有证明秩的唯一性,即需要证明.遗憾的是在一般的环中,这不一定是对的。但至少在PID上的情形,这是对的。为了证明这一点,我们需要发展一些环上的线性代数的知识。
环上的矩阵
我们考虑自由模的模同态,由于 我们知道,确定一个同态,本质上只需要知道每个被映到中的哪里。我们用表示中的标准基。如果我们记的像在第个位置的分量为,那么可以写 这里是我们要的个中的元素。我们可以把这些元素用排成一个矩阵 矩阵一般用大写字母等等来表示。这里我们的矩阵是的矩阵,我们也记为. 当我们需要强调矩阵元素是时,我们写这个矩阵具有行列,我们说它是一个上的的矩阵,记作. 当时这个记号简单写为.
练习 4.23. 确认自己理解:给出一个矩阵与给出一个同态等价。即给出任意一个由中元素构成的矩阵,它都代表了某个同态。于是任意矩阵都能(唯一的)写为的形式,是某个同态。
映射的复合与矩阵的乘法
对于, 以及我们可以给出同态和的定义。那么类似的定义矩阵的数乘和加法,即定义乘以是指映射所对应的矩阵 记两个同态对应的矩阵分别为, ,那么定义是映射对应的矩阵
练习 4.24. 证明的元素就是,而的元素就是. 从而证明构成一个模。
当我们有同态的复合
时,可以通过算出,我们把这个过程叫做矩阵的乘法,记作 具体是怎么操作的呢?我们可以由矩阵写出 因此 这表明的系数应该为 这便是矩阵的乘法公式。 注意是的,是的,而是的,这表明矩阵乘法给出了一个映射 当时,这个乘法运算给出了上的乘法,从而成为一个(通常非交换)环。
练习 4.25. 构成环的必要条件是乘法满足结合律。由映射的复合满足结合律这一点,导出矩阵乘法满足结合律。
练习 4.26. 设是恒等映射,写出它的矩阵,记为.这个矩阵称为阶单位阵。它是中的乘法幺元。
练习 4.27. 设.
说明,如果我们将中的元素看成的矩阵(称之为列向量),那么对应的映射就是如下矩阵的乘法 这里.
说明,作为线性映射的像是的所有列生成的的子模。
PID上矩阵的约化理论
本节我们设是一个PID, 考虑上的矩阵. 注意到由矩阵乘法,具有多模结构,即可以通过阶方阵左乘,阶方阵右乘作用在阶矩阵上面。
记环中的乘法可逆元构成的群为,我们称是相抵的,是指存在两个可逆元, 使得.注意相抵是一个等价关系。
矩阵的初等变换
对于矩阵的乘法,可以形象的理解为是的列重新组合得到的,也是的行重新组合得到的,而组合的系数由另一个矩阵决定。由矩阵乘法公式 可以看出,的第列是由的第列乘以加上的第二列乘以,一直加到第列乘以.类似的,的第行则是的各第行乘以对应的再相加。于是,左乘一个矩阵相当于行操作,右乘一个矩阵则相当于列操作。
所谓初等变换,则是指一类简单基本的对矩阵的可逆操作。可以对一个矩阵通过左乘和右乘一些简单的可逆方阵来施行初等变换。一共有这样几类初等变换:
将矩阵的一行(或者一列)乘以中的某个非零元素,然后加到另一行(对应的,另一列)上去. 比如将的第行乘以然后加到第行上去
重新排列矩阵的行或者列.设,如果我们需要用置换重新排列矩阵的行,就左乘阶方阵.这里表示当时为,否则为的一个函数。我们有 这样的方阵叫做置换矩阵。 类似的,重新排列矩阵的列就右乘一个阶置换矩阵。
将矩阵的某一行或者一列乘以一个单位. 这只需要将矩阵左乘或者右乘一个对角矩阵 其中所在的行(列)就是需要乘以的行(列)。
将矩阵的倍的第行(或者列)加上倍的第行(列)作为新的第行(列),原来的倍第行(列)加上倍第行(列)作为新的第行(列),这里.这也是一个可逆的变换,它等价于左乘以下矩阵(列的情形:改为右乘,并将对调位置) 其中省略的部分都是斜对角的.它的逆是
值得注意的是,这些初等变换都是可逆的,并且它们的逆还是初等变换。并且一系列初等变换都可以用左乘一个矩阵和右乘一个矩阵来得到。这是因为,施行一系列行列初等变换,可以视为按一定顺序左乘右乘了一系列和,由结合律,可以将结果写成 当然,这相当于说是多模。
相抵标准型
定理 4.4 (PID中的相抵标准型). 设,这里是一个PID,那么存在一组唯一(在相差中单位的意义下)的,满足,使得相抵于如下对角形 这里表示某个零矩阵(可以没有),空着的位置都是. 我们把得到的叫做的秩,记作.
Proof.
考虑矩阵左上角,通过行交换和列交换我们把素因子数最少的元素挪到这个位置,约定有无穷多个素因子。如果整个矩阵都是, 证明可以视为完成了。否则,可以设具有有限个素因子。
如果整除第一列中所有元素,我们可以用第一行的初等变换消去第一列中剩下的所有元素。否则将不被整除的挪到的位置,考虑, 我们有.这里一定有,否则若都被某个素因子整除,我们有,这不可能。因此可以设有使得. 那么,通过将原来的第一行乘以加上第二行乘以作为新的第一行,并将原来的第一行乘以加上第二行乘以作为新的第二行,我们得到左上角的新元素是,它是原来的真因数,因此具有更少的素因子数量。
不断进行这个操作,直到第一列所有元素都被整除,此时矩阵的第一列的其他元素可以被通过初等变换消除为, 对第一行也进行类似的操作直到除了都是.
如果整除矩阵中所有元素,我们记, 然后继续对从第二行第二列开始的矩阵部分做上述归纳操作。否则,重复第一步的操作,将矩阵中素因子数最少的元素挪到.这个操作一定会停止,因为的素因子个数会不断减少,直到整除所有矩阵元素或者被移除了所有素因子然后变成单位,那时它仍然整除所有矩阵元素。
如此操作,矩阵最终可以化为我们所需要的形式。
◻
练习 4.28 (). 本题中是PID. 并将视为的-线性变换。按如下提示,发现高斯消元法。
证明,是可逆的当且仅当它相抵于单位矩阵, 从而得出可逆且.
推出任何可逆矩阵都可以写成初等矩阵(即初等变换中所使用的矩阵)的乘积。换句话说,初等矩阵构成了的生成元。
证明,若可逆,可以只使用行变换将化为相抵标准型,即.
考虑求逆矩阵的如下算法,并排写下两个矩阵,这里是一个的矩阵。只使用行变换(当也是阶方阵时也可改为只使用列变换),对施行初等变换,并且同时对做相同的操作。证明当化为单位矩阵时,就被变成了.
分别考虑和为一个列矢量的情形,得出求逆矩阵和对于可逆时解方程 的一个算法。这里是一个未知列矢量。
练习 4.29 (). 本题中的假定与上题相同。
设不一定是可逆的,证明的核可以由生成,这里是将化为相抵标准型的矩阵,是非零的的个数。
得出计算子模的如下算法:并排写下两个矩阵,是单位阵,然后对施行初等变换,同时对做相同的列操作,但不进行行操作。当化为标准型时,右侧矩阵的后列所生成的子模就是.
练习 4.30 (). 是PID,如果, 证明存在可逆矩阵使得行向量成为的第一行。
练习 4.31 (). 设是一个线性映射,在某组和的基下对应的矩阵是. 证明.
PID上的有限生成模的结构
利用我们在本章建立的这些结果,我们将证明两个重量级结论,一个是PID上的(有限生成)自由模的秩是确定的,即.另一个是PID上有限生成自由模的子模还是有限生成自由模。
有限生成自由模的秩
事实上,这对所有整环成立。
Proof. 我们利用整环的分式域,考虑将这个问题’向量空间化’,这样我们也许能用向量空间具有确定的维数来证明这个命题。 事实上,从的映射定义了一个上的矩阵,由于是整环,包含映射是一个单射,将视为上的矩阵可以得到一个中的矩阵,它定义了一个的映射,记为.由有逆我们看出也有逆,从而也是同构,那么由向量空间的维数的唯一性,我们得到. ◻
于是,我们可以定义有限生成自由模的秩.
有限生成自由模的子模
Noether模
所谓Noether模是指这样一类模,它的所有子模都是有限生成的(那么自然,它自己也得是有限生成的)。
例 4.4. 设是诺特环,那么作为模的子模是它的所有理想,由Noether性,它们是有限生成的,因此是Noether模。
和Noether环完全类似,我们有如下的等价叙述
定理 4.6. 以下关于模的叙述等价
是Noether模。
的任意子模的上升链必然停止。
的任意子模构成的子集中存在极大元。
练习 4.32 (). 仿照Noether环的证明,说明上述等价关系。
为了说明各类常见的模都是Noether模,我们从开始构造出其它Noether模。
定理 4.7.
若是Noether模,那么所有的同态像也是。
若是Noether模当且仅当对某个子模有和 也是 Noether 模。
Noether模的有限和,以及有限直和都是Noether的。
Proof.
任何同态的像都形如,由于对应定理,的所有子模的上升链都可以对应到的子模的上升链,从而必然停止。
:显然成立。
:考虑的一族子模的上升链, 那么有和两列分别是和里面的上升链,由于它们Noether,这两个序列都会停止,于是只需证明若, 且时即可。设, 由于可以找到使得, 于是这个元素,从而.
由我们看出有限直和都是Noether的,而一般的有限和是的同态像。
◻
作为结论,若是Noether环,是Noether的,从而所有有限生成模都是Noether的,因为它们都是某个的同态像。
PID上的有限生成自由模
设是一个PID,那么显然是Noether环,于是是Noether模从而其子模都是有限生成的。设是一个子模,由于它是有限生成的,可设有满射,将它与自然映射复合可以得到一个映射,其像为.于是我们可以将该映射写为一个的矩阵,考虑的相抵标准型,存在可逆阶和阶的方阵使得,这里是一个对角形的矩阵。翻译回映射的语言,这就是说,存在两个同构映射和使得.那么显然,这里对应的矩阵是,也就是以下形式 其中,.于是我们知道,存在的一组基,使得,这里直和是内直和。此处这个已经与同构了,如果要换回原来的形式,那么由于是同构映射, 这里仍然构成的一组基,因为是同构。于是存在的一组基使得
PID上的有限生成模
任何有限生成模都是自由模的同态像,从而是自由模关于它某个子模的商。我们知道,PID上有限生成自由模的子模一定形如,这里是的一组基(不一定是标准基).于是在同构下,这个商同构于
定理 4.8. 设是一个PID,是一个有限生成模,那么存在一列中的元素和非负整数使得 这称作的’循环分解’.
练习 4.33. 证明,有限生成阿贝尔群都同构于如下形式 这里是一列整数。
练习 4.34 (). 利用PID中的素因子分解,将上述有限生成模的结构定理转化为如下"准素分解"的形式。
若, 这里是单位,是不同的素数,是非负整数,证明(这可以看作是中国剩余定理的特例。你本质上只需要证明,其中互素的情形)
说明.
证明,所有有限生成模都是形如和的模的直和。准确的说,有如下分解 其中, .
反过来,说明准素分解如何化为循环分解。
线性映射的标准型
本节我们设是一个有限维-向量空间上的线性映射。如果我们取的一组基并将写成矩阵形式,一个问题出现了,在向量空间和的定义中,没有明确选择的是哪一个基。事实上,很多线性空间和线性映射都可以在不写出基底和矩阵的情况下定义出来,即不依赖于基底的选取。但是如果我们要将其写成矩阵形式,就一定要人为选取一组基。这就产生了这样几个问题:
不同的基的选取对矩阵有什么影响?
有没有一种’最好’或者’很好’的特殊基,使得矩阵的形式得到简化?
相似矩阵
我们先来看第一个问题。设是另一组基,其矩阵记作. 所谓矩阵,本质上是的映射,它与原来的映射的关系可以用基映射来描述,这里是所确定的映射,它是一个同构。将看做的线性映射,此时我们有,如下交换图所示(所谓交换图,是指按照不同路线将映射复合起来时,所得的映射一致)
类似的,如果是另一组基所确定的映射,则有.于是 这个故事可由如下交换图来表示
注意到这里也是一个的矩阵并且还是同构(从而是可逆矩阵).记该矩阵为,称作坐标转移矩阵。我们得到 这样两个来自同一个映射的矩阵就被联系起来了。如果存在可逆矩阵使得两个方阵由上述关系联系起来,我们就称这两个矩阵相似.容易验证,相似是上的等价关系。
练习 4.35. 设,选取为满足, 的唯一线性映射。对应的矩阵是什么?如果我们选取一组新的基,计算转移矩阵和.
相似标准型
现在我们需要回答,给定两个矩阵,如何判断它们是否相似?这本质上是一个分类问题。一般来讲,我们会从以下几个角度研究这样的问题,一是寻找’不变量’,即可以通过矩阵算出来的,在相似变换下不变的量。二是,我们可以在每一个相似等价类中找出一个代表元,然后看看矩阵和能否被化为相同的代表元,或者从不变量计算出这些代表元。无论哪一种,都启发我们从不依赖于坐标的角度出发。不妨设我们的矩阵是线性映射在上的一组基下的矩阵表示,我们发现,除了是模以外,还可以把作用在上。通过重复作用和它们的线性组合,我们可以将任一个的多项式,作用在上,这里是多项式。于是成为一个模,其作用为 我们思考,如果我们让代表矩阵的作用,那么矩阵相似是否和对应的模结构有关?事实上我们可以发现
引理 4.1. 设是在作用下的模结构,是在作用下的模,那么与相似当且仅当作为模,.
于是,我们发现,对矩阵或映射作相似分类等价于对模进行分类。注意到是一个PID,我们知道,PID上有限生成模的结构已经被我们完全分类清楚了!它一定可以写成一些形如的模或者准素模的直和。一种想法是,我们可以把这样的形式对应的矩阵作为我们的代表元,从而只需要将化为这样的形式,就可以将矩阵化为标准型。我们先来讨论标准型到底长什么样。
有理标准型
在的循环分解中,我们把得到的称之为矩阵或者的不变因子。为了找出更简单的形式,我们将循环分解中的不变因子分解为素因子的乘积,从而变成准素分解,即成为形如的模的直和(不会出现在分解中,因为是有限维向量空间),这里是上的不可约元素。当我们写出 时(这里允许序列和中的元素重复),我们把所有的这些(可重复)称为或者的初等因子。容易看出,给出初等因子完全确定了的模结构。上述分解不仅是模的直和分解,也是作为模的直和分解。于是我们知道,只需找出的一组基,即可找出的一组-基。 可设是首系数为的多项式(因为在中都是单位),我们取 在 中的像作为它的一组-基。那么在这组基上的作用就是乘以在这组基上的作用,我们有 这便给出了在这组基下在子空间上作用的矩阵 于是在这样的基下,其矩阵便是形如这样的矩阵按照对角排列构成的矩阵 这里矩阵中的所有元素都属于,我们称之为的有理标准形。
练习 4.36 (). 设是维线性空间上的线性变换。从而使成为一个以模.
证明,的不变因子中的就是所有初等因子的最小公倍数。
对于一个环上的模,定义 称之为的零化子,证明它是的一个理想。
得出存在最小多项式,即并且该多项式就是,其次数.
Jordan标准型
如果我们的域是代数闭域,即所有上的多项式都在上有根,即可以分解为一次式的乘积(比如),那么矩阵还能化归为更简单的形式。这时,上的不可约多项式都形如一次式,于是一定形如. 我们考虑的一个形式更简便的-基:,在这组基下,的作用如下 这表明,在这组基下,在这个子空间上具有如下矩阵表示 这里矩阵是的大小。于是在这样选取的基下具有如下矩阵表示 这称为的Jordan标准型。特别的,如果,那么是一个只有对角线的一阶矩阵。
练习 4.37. 证明,在域上可对角化当且仅当所有初等因子都是一次的。于是等价于的最小多项式能在上分解成一次式的乘积并且无重根。
练习 4.38 (). 设是有限域,那么中有多少个-相似等价类?
自由化解
虽然我们已经知道了所有映射的矩阵都可以化为标准型,即模可以分解为结构定理中所叙述的形式,但是,我们要怎么具体来确定的模结构呢?在模的理论中,有一个方法是所谓的’模的化解’。就像Taylor展开一样,对于一个一般的模,在了解了它的生成元之后,可以定义一个生成映射.那么这个就可以视为的’一阶近似’,它包含了所有生成元,但是生成元之间却没有任何线性关系。这些关系事实上就是的核,记为。如果我们再找出的一组生成元,就可以得到一个正合列 如果此时左边映射已经是单射,我们的逼近就结束了,否则还可以继续不停的在左边重复这个操作,得到一个很长的正合列,这个正合列就叫的自由化解序列。注意这样的序列未必是唯一的。
练习 4.39 (). 证明,对于PID上的有限生成模,总可以构造出自由化解序列形如 即,它的’自由模逼近’在至多两项之后就可以停止了。
的化解
本节记.我们要如何给定一个到的满射?或者说,怎么找出一组生成元?事实上,当我们给定一组的基之后,具有矩阵表示,并且是的一组生成元,自然也是一组-生成元。于是我们考虑由确定的-满射 现在要为这个映射找出核,我们考虑矩阵表示,显然有 这里是标准基,这就找出了的个生成元.于是我们可以作出映射使它的像对应到, 事实上,该映射刚好由矩阵所描述。由于, 我们发现是的一个-子模。于是对任意,它都属于,从而可以写成 注意到,我们知道所有.这表明是的-线性组合,我们证明了确实构成了的一组生成元。
我们还需证明是单射,即是-线性无关组。为此,设,我们有 这表明. 那么我们发现,.由于 是PID,左边的理想是主理想,设它等于.若,由于是整环,应当是包含了任意次数的多项式,但右边是有限维-空间,且仅包含有限次数的多项式,这不可能。于是,我们知道.
推论 4.2. 我们有如下-模的短正合列 其中是由确定的映射。
有了这个基本的正合列之后,我们来考察怎么具体将的模结构计算出来。注意到是PID上的矩阵,于是存在可逆矩阵使得 这里, 表示以这些元素为对角线,其它地方为的对角矩阵。那么我们有这样一个交换图
这里我们需要以下一个简单的引理
引理 4.2. 设是一个(未必交换)环,等都是(不妨设)左模, 如果给定了如下的关于模和模同态的交换图(除了以外的部分)
并且两个行都是正合的,那么可以唯一的构造出一个模同态,使得整个图都交换。另外,如果还是同构映射,那么也是。(本质上,这个同态是由诱导的。)
Proof. 事实上,取,考虑它在中的一个原象, 将其映射到, 我们定义.那么需要验证这个定义不依赖于原象的选取,事实上,另一个原象只与相差一个的元素,即相差一个的元素,故记另一个原象为, 它在中的像是,于是的定义不依赖于原象的选取。这里用到了交换性。容易验证确实是一个模同态。唯一性是显然的,因为就是由图的交换性唯一确定的。
现在来考虑,是同构时,为何是同构映射。事实上,我们作出,, 然后定义出这样一个交换图
那么由引理的前一部分,可以唯一的构造出与图交换。注意到显然是一个与第一行和第三行交换的映射,于是由唯一性,,从而是同构。 ◻
现在,由于可逆,显然定义出了同构映射。由这个引理我们知道可以构造出到的同构,这里 注意到作为模同构自然也是模同构,并且是一个有限维向量空间,但是并不是有限维向量空间,于是, 是中的非零元素使得 当然,判断出同构于上述形式并不需要前面的论证,只需要使用有限生成模的结构定理即可。但是上述过程给出了一个利用的形式将化为结构定理中的标准型的明确计算方式。
练习 4.40 (). 证明,当给出了如下模同态的交换图之后(这里行都是短正合列)
可以唯一的构造映射使图交换。如果都是同构,那么也是。
练习 4.41 (). 设是两个域,是的子域。证明 在上相似当且仅当它们在上相似。
特征向量与根子空间
本节我们通过特征空间理论的讨论如何实际的得到转移矩阵使得为我们的标准型,或者等价的说,.假定是一个使的初等因子都是形如一次式的乘积的域(比如说,代数闭域,如),我们将此时的初等因子中出现的称作的特征值.按照特征值排列准素因子我们有 对于每个特征值,在同构下对应的的子空间称为关于特征值的根子空间,它等于 而子空间称之为关于的特征子空间,记为,其中的向量叫做的特征向量,它显然是对应特征值的根子空间的子空间。 注意到我们前面讨论Jordan标准型时对形如的子模的基的-基的选取,我们知道在该模中的投射像生成了这个模,即它有一组基,这里我们的基需要按这样的顺序排列以保证的矩阵是之前所描述的Jordan形式。那么如果我们找出了到的同构下的像,不妨记为,该子空间对应的一组-基就可以写成.
如果是可对角化的,那么所有初等因子都是一次式,此时根子空间就等于特征子空间。只要求出特征向量,就能得到.对于一般的我们需要求出根子空间的基. 下面我们举几个例子来说明
例 4.5. 我们考虑域上的如下矩阵 那么我们对做初等变换,得到 于是在上的有理标准型为. 即,存在上的可逆矩阵,使相似于上述形式。如果我们考虑或者(事实上,只需要即可),那么从我们得到它的初等因子,从而它在上相似于如下对角阵 这就是它在任意包含了的域上的的Jordan标准型。
为求出,考虑它对这两个特征值的特征子空间 和.利用前几节描述的的算法对进行计算(或者直接解方程)我们可以计算出这两个空间的生成元,即特征向量是,这里令分别得到对应特征值的特征向量。于是(注意,不需要是唯一的。) 满足,即.
例 4.6. 考虑如下上的矩阵,将其化为Jordan标准型,并找出对应的使得. 通过对的初等变换,我们可以计算出它的不变因子 从而得出初等因子是和.于是我们先计算,得到了根子空间如下的一组基(基并非唯一,大家算出来的可能不同) 对上述向量分别作用,我们发现前两个向量落入了,而最后一个从而属于.于是令,这个向量就对应了中的生成元,它的Jordan块对应的基是. 那么我们还需要一个不属于生成的空间的特征向量来对应到另一个初等因子,显然可以取.
最后通过简单的对特征向量的计算,我们找到一个特征值为的特征向量 将它们以的顺序排列进矩阵,我们就得到了所需的转移矩阵
练习 4.42 (). 事实上,在上述例子的的计算过程中,我们还可以用以下手段降低计算量。
设是一个一般的维空间上的线性映射,它的极小多项式形如,这里两个特征值不相同。证明
这里回到上一个例子中的.通过计算矩阵和,找出的特征向量,并利用,说明直接由的列生成,从而无需计算和它的核。
练习 4.43 (). Fibonacci序列是所谓由初始条件以及递推式 所确定的唯一正整数序列。我们可以将上述递推式转化为矩阵形式 记其矩阵为.通过将上述矩阵化为上的Jordan标准型,我们可以轻松的计算,并从其中导出的通项公式。
线性映射的不变量
所谓不变量,是指,要么这个量的定义不依赖于基的选取,要么对任意基的选取,这个量都是不变的(即所谓相似不变量).本节我们来看线性映射的几个经典的不变量。
行列式
考虑一个维-向量空间和其上的一个线性映射.我们考虑上的一个-线性交错函数 所谓-线性是指,对每个变量都是线性的,即固定其它元素时, 是一个线性映射。而交错则是指,如果有两个向量相同,比如,那么函数的值为. 作为推论,这表明当我们交换两个向量的位置时,函数值会变为原来的相反数 这是因为,利用-线性展开可得上述推论。 那么首先我们要问了,我们加了这么多奇怪的条件,这样的函数还能存在吗?我们考虑引入的一组基,并考虑在基底下的分解 那么由线性我们有 由于中需要没有重复元素才能不为,我们只需要考虑刚好构成的一个置换的情形。不妨记这个置换为, 此时置换又可以分解为一系列对换的乘积,而每一个对换对来说刚好产生一个负号,从而 故 容易验证上述表达式定义的函数确实满足-线性性和交错性,于是我们想要的函数确实存在,但其定义似乎依赖于值的选取和的一组基的选取。为了避免无意义的函数,我们选取,对任意映射,考虑 称为的行列式,如果我们写出矩阵分解, 根据上面的公式,我们知道这个定义不依赖于的值的选取(只要不为),从而可以写出对于矩阵的行列式的定义 这相当于假定时,的值,这里是的列。 神奇的是,事实上的行列式的定义也不依赖于基 的选取!为此我们只需证明 相似的矩阵行列式相同。而这是因为行列式是一个乘法同态:
定理 4.9 (行列式是乘法同态). 固定向量空间的一组基的选取,设是两个矩阵,那么
Proof. 设的列从左到右分别是,那么的第列就是.设,通过类似于前面的交错和展开,我们有 ◻
很容易看出,,因此对于可逆矩阵有 那么,两个相似的矩阵的行列式就一定是相同的 事实上,行列式有着明显的含义,-线性交错函数某种意义上就是-维空间中的一种带符号的体积函数,它描述了向量张成的平行多面体的体积。而这个体积的定义最终还需依赖’基础体积’的值。那么,的行列式就是把这个基构成的平行多面体映射成的新平行多面体的体积’放大的倍数’,这个倍数却不依赖于’基础体积’的值.即,它描述了线性映射的带符号的’大小’.这个大小是不依赖于基的选取的。
练习 4.45. 说明,行列式事实上可以对中的矩阵定义,这里是一个交换环。
练习 4.46 (). 本题中设是PID上的矩阵。
是可逆矩阵当且仅当是单位。
定义了一个单射当且仅当.
当且仅当.
练习 4.47 (). 设是一个维向量空间上的-线性映射,是它在某一组基下的矩阵,证明下列说法的等价性。
.
的列能生成.
, 即是单射。
.
不是的特征值。
没有非零解。
是可逆矩阵,是同构。
练习 4.48 (). 设是域上维向量空间上的线性映射,定义多项式.
是的一个相似不变量,它的根都是的特征值,因此称为的特征多项式。
证明等于的所有不变因子的乘积,也即所有初等因子的乘积。
证明Cayley-Hamilton定理.
张量积
设和分别是右模和左模,我们可以定义一个阿贝尔群, 其中的元素都是由形如的符号生成的,其元素为,并且满足以下三条约束
(系数平衡) ,
(左线性) ,
(右线性) .
即,要求这个符号具有双线性性,并且中的元素可以自由的穿过该符号。严格来说,这个定义是指,是一个由所有符号生成的自由模,商掉所有形如等关系元素生成的子模。当我们不写出的时候,要么从上下文是明确对哪一个基环取张量积,要么我们是在对取张量积。由于任何模都是阿贝尔群因此可以视为双边模,故总是可以定义出来的。
例 4.7. 设, 是两个模,那么考虑. 这个群是由所有形如的符号生成的,这里表示整数所在的剩余类。
当时,因此, 这个元素是中的元素。
同理当时,.
当时,我们有,因此.
因此在这个例子中,张量积.事实上对互素都有.
练习 4.49. 观察上述例子,回答:在中,是否等价于中有至少一个是?
虽然一般来说我们定义出的只是一个Abel群,但类似于,当或至少有一个具有双边模的结构时,可以将赋予模结构。 我们来举例说明具有左模的结构。这是因为我们可以对,定义
类似的一共有四种情况,我们将所有情况列出如下表格
群 |
自然的模结构 |
模结构的定义 |
|
模 |
none |
|
|
|
|
左模 |
|
|
|
|
|
|
|
|
右模 |
|
|
|
|
练习 4.50 (). 确认你弄明白了表格中的所有情况。
例 4.8. 设是一个左模,同时有一个系数扩张同态,这里你可以把理解为一个更大系数的环,比如.那么由于此时可以视作一个左右模,我们可以利用张量积,将的系数扩张为系数,得到一个左模: 这里平衡关系可以理解为, 因为的右模结构是由给出的。
练习 4.51. 设是一个左模,显然是一个双边模,证明是一个左模,同构于.
张量积的Universal Property
相比于直和或者直积分别代表多个物件指向一个物件,和一个物件指向多个物件,张量积的一个重要含义是,它代表了多线性属性。什么意思呢?我们说是一个-多线性映射,是指的两个变量都是线性的。如果还要求是-平衡的,即,那么本质上是定义在上的线性映射。即,双线性映射不过是一类特殊空间上的线性映射。
定理 4.10 (张量积的Universal性质).
设是两个模,那么任意一个双线性映射都可以分解为映射的复合
其中是一个与无关,只与有关的的典范映射,也叫的结构映射,是一个使上图交换的唯一的映射。
设分别具有右,左模结构,那么类似的,任意一个平衡的双线性映射都可以唯一的分解为.
Proof. 根据定义,,这里 是所有抽象符号生成的自由模, 则是由所有双线性关系生成的子模, 给定了一个双线性映射之后,我们可以定义一个线性映射 为满足的唯一映射。其存在性是自由模的性质保证的。由于是双线性的,显然有(因为在的所有生成元上是,有),因此可以作出商映射, 这便是我们需要的. 命题的第二部分也是类似的,只需作简单修改即可。 ◻
推论 4.3. 这里左边对应的就是命题中的,右边对应的是平衡双线性映射。
Proof. 为显然,对于,如果都不为,可以构造线性函数使得. 那么容易验证,是一个平衡双线性映射,因此可以分解为.但是不为,因此. ◻
练习 4.52. 将上述命题推广到分别是右,左模的情形。这里需要添加适当的假设:和满足,任意非零元素都存在线性函数在该元素上不取零。
例 4.9. 设是一个域,是两个向量空间。显然它们是两个双边模,因此可以定义出-线性空间.如果分别是由基底生成的,那么由基底生成。该基底能生成整个是显然的,难点在于说明线性无关。假设有一个有限和 那么这表明,对任意平衡双线性映射,都有.由于显然是一个平衡双线性映射,这里代表在基底上取值为,其他基底上取值为的唯一线性函数.将该函数作用在上我们得到,而是任意的,因此这表明的所有系数都是.
练习 4.54 ().
如果有两个线性映射,能否自然的定义出一个线性映射?
设分别有一组基底, 而在基底下有矩阵表示.求在,自然的基底下,的矩阵表示.在适当的基底排列顺序下,你应该可以得出如下形式 而如果你把基底的排列换一种方式,你可以得出如下矩阵形式 作为推论,这两个矩阵一定是相似的。通常我们将前者约定为矩阵.
对偶空间
对于一个-模我们可以定义一个对偶模。它的模结构由的双边模结构给出,即如果是左模,就是右模,反之亦然。在是交换环,或者是一个域的简单情形,我们不需要区别左右模的问题,就是自然的模。
在向量空间的简单情形,叫做的对偶空间。它可以理解为上面所有的线性函数构成的向量空间。对偶空间好玩的地方在于,它是一个反变函子。
定理 4.11. 对偶函子是一个从左模到右模的反变函子,即它将一个左模对应到一个右模,并且将左模同态对应到右模同态。这个对应满足合成律,即合成 被对偶函子所保持:(但由于是反变函子,会扭转合成的方向)
Proof. 事实上这就是我们之前讨论过的Hom函子的性质的特殊情形。回忆它将对应到,即通过将上的线性函数拉回到上的线性函数. ◻
对偶基
如果有一组基,即是自由模,那么它的对偶模是.后者通常是一个比更大的模,但如果是有限的,那么与是同构的。在向量空间的情形,这表明有限维向量空间的对偶空间具有和相同的维数。但是这个同构并不是典范的,即我们不能在不给定一组基的情形给出这个同构,并且这个同构取决于我们的基的选取,它不是自然同构。即便如此,我们仍然可以讨论一组基对应的对偶基的概念。
设由一组基生成,那么这组基等价于一个同构映射,将上的标准基对应到。对这个映射取对偶函子我们会得到 而由函子性,也是一个同构映射。如果我们扭转的方向,这就会给出一个同构即的一组基,称之为的对偶基,记为.
具体来说,的定义是,它在下的像是上的取第个坐标的函数。即满足 带入就有 这里表示一个在时等于,其它时候等于的符号。上面这一行也通常作为对偶基的等价定义,因为对所有满足上一行可以线性扩张到对所有向量满足.
对偶线性映射的矩阵表示:转置
设是一个有限维线性空间之间的线性映射,在确定了和上的一组基后,具有矩阵表示即. 那么,对应的对偶映射在对偶基下的矩阵表示是什么样的呢?我们计算 代入就可以得到 这个矩阵事实上就是将的所有元素按主对角斜线翻转得来的,将行变成列,列变成行。这个操作我们称之为的转置矩阵,记为.因此我们得到了如下推论:
定理 4.12. 对偶映射在对偶基下的矩阵是原映射在原有基底下的矩阵的转置。
值得注意的是上述推理并不需要和维数相同,矩阵和矩阵的转置可以对任意形状的矩阵进行。
练习 4.55 (). 设是有限维向量空间。讨论当基底发生变化时,对偶基如何变化?即如果有一组基底和一个坐标变换给出的新的基底, , 这里是一个可逆方阵。那么对应的对偶基应该如何用来表示?
双对偶
虽然当向量空间是有限维时,和并不是自然同构的,但是神奇的是,和是自然同构的。
定理 4.13. 设是有限维向量空间,那么映射是一个不依赖于基底选取的自然同构。这里代表将里的函数映射到的线性映射,即计算在上的取值。
Proof. 容易看出是一个里的元素。我们来证明这个映射是同构,首先显然是线性映射,因为它计算取值的对象是线性函数。为此我们只需证明是一个单射,因为在有限维的情形我们知道.
如果,一定可以找到线性函数使得(比如将扩充为一组基然后取对偶基). 那么此时,从而作为的元素,.这就证明了是单射,从而证明了命题。 ◻
如果不是有限维的,通常会非常大,但是我们仍然有上述自然的单同态.
域扩张和伽罗瓦理论
群表示论
本章节需要大家具有线性代数和张量积的基础知识。从某种意义上说,群表示论是线性代数的延伸。想想一个线性空间和其上的一个线性算子, 那么我们可以把自然的作用在上,于是可以得出一系列.如果还是可逆的,我们相当于可以把这一系列算子都作用在上,不难发现,这本质上可以视作群在线性空间上的作用。更一般的我们可以考虑群在上的作用。 群的线性表示是指群以线性变换的方式作用在线性空间上,即给出一个群同态 或者等价的说,给-向量空间一个模结构(简称为模):是由中元素构成的所有线性组合,它们是所有“算子”,可以自然的作用在上,并且满足对于以及,
.
.
基本概念
设是一个群,是域上的向量空间。如果有同态 则我们称 是一个 的-线性表示,在不引起混淆时我们直接称或者为的一个线性表示。如果 , 我们说 是表示的次数,记作.我们只涉及有限维的表示。
我们可以定义 , 称作表示的核。如果 我们说表示是忠实的。
一个表示就是给了 在线性空间 上的一个(以可逆线性变换的方式)作用。 可以等价的说成一个 -模。所有 都是 的一个可逆线性变换。
例 6.1. 考虑由的元素张成的线性空间, 在其上以左乘的方式有一个可逆线性变换的作用(置换它的基)。这称为的正则表示,记为
子表示和商表示
设是一个表示, 是一个子空间。我们称 是一个 子表示 如果 , 也即在的作用下是封闭的。在这种情形下我们还可以给商空间一个自然的作用,获得所谓的商表示 如果 是 的一个子表示,适当的取的一组基 使得 构成 的一组基,则用矩阵的语言我们有对所有,
表示的同态
设 和 是两个表示. 如果有线性映射 满足 即 , 或者说有如下交换图表
则我们称是一个表示的同态,或者说是一个模同态。全体 -模同态的空间记作.
反轭表示
当是一个表示时,我们也可以自然地把看成一个表示 我们把这个表示称作的 反轭表示。在选取了的一组基,以及的一组对偶基 之后,我们有 读者可能会奇怪,为何反轭表示里,定义为而不是?这是因为群的作用需要满足结合律,也即需要满足 但是注意到映射的合成会把乘法的顺序反过来 因此需要引入逆将乘法的顺序再反过来,这是唯一合理的定义。
张量积表示
对于给定的两个表示 和 ,我们可以在张量积空间上定义一个自然的作用使其成为一个表示 称之为张量积表示。 通过张量积表示,我们可以将空间自然地视作一个模。这是因为, 可以自然的视作 ,于是在其上的张量积表示可以给出 在这个定义下,成为 的子表示。
Proof. 取的一组基以及的一组基和对偶基,考虑从到的一个对应 容易看出这是线性空间的同构。由定义知它们在的作用下是相同的。 ◻
表示的直和
我们可以将两个表示和直和起来,得到一个新的表示 也即 从矩阵的观点来看,令是的一组基,则我们有
表示的外张量积
给了一个的表示和的表示之后,我们可以构造一个 的表示 称作表示 和 的外张量积。
不可约表示
我们现在将要研究将表示拆分成一些更小的表示,以及无法再分解的基本的表示:不可约表示。 一个表示 叫做 不可约 如果它没有非平凡的子表示。叫做不可分解,如果它不能分解成两个非平凡的子表示的直和。显然不可约模一定是不可分解的。我们称一个表示是完全可约的,如果它能分解成不可约模的直和。显然我们讨论的有限维表示都可以分解为不可分解表示的直和,但不可分解模不一定是不可约模。但是,我们将证明,对于的情形,有限维表示都是完全可约的。
我们今后将完全限于的情形(称之为常表示论),读者完全可以假设而不失任何关键信息。的情形非常复杂,属于模表示论的范畴。
Proof. 若则有,因此, 即是的子表示。类似可证. ◻
下面的引理是简单而重要的:两个不同构的不可约表示之间没有非平凡的同态。
引理 6.2 (Schur). 设 和 是两个 表示,则有
若 是任一个非平凡 -模映射,那么只能是同构。因此,若, 则 .
是一个包含 的除环.
若 是代数闭域, 那么 .
Proof. 若是一个-模映射,是的子表示,由于是不可约的,必然有或者.若假设非平凡,必有从而是单射。同理我们必有,故也是满射,因此是一个同构。
对于第二个命题,只需注意到中的任意非零元素都是同构因而是可逆的。
最后,如果是代数闭域,我们可以考虑的特征值和特征向量.注意到由张成的空间构成的子表示,故它等于.因此任何可以写成 必然有 这表明 ◻
Maschke 定理
我们即将开始看到起到什么样的作用。Maschke定理描述了在这种情形下,每个子表示都有直和补表示,这将表明不可分解模是不可约的,从而我们研究的有限维表示都可以分解为不可约表示的直和。
定理 6.1 (Maschke). 令是一个-表示, ,那么的任意子表示都有直和补表示。
Proof. 我们首先可以找到的一个补空间(不要求该补空间是子表示),设,考虑是该直和分解附带的投射,我们只需证明存在一个-模投射,这样的话,而则自动是子表示。
做法是考虑的平均化: 容易验证它确实是-模同态 ◻
正则表示的分解
正则表示具有基本的重要性,因为每个不可约表示都是的直和项。这是因为,如果我们把分解成某些不可约表示的直和 设是任意一个不可约表示,则有 于是由Schur引理,若没有出现在的分解中,上述空间.如果, 则. 但是我们知道,可以实际的计算空间.事实上,其中的元素完全由值所决定,反过来任给一个可以作出映射使得.于是有线性空间的同构 于是我们得出如下重要命题
定理 6.2 (正则表示的分解). 任何不可约表示都是正则表示的直和项。如果 If 是所有的互不同构的不可约表示,那么 其中 特别的,如果, .
推论 6.1. 设 ,并且 是所有不可约表示的次数,那么我们有
特征标理论
特征表理论是群表示论的核心部分之一:它是表示的重要不变量。给定一个表示,我们可以联系一个表示的特征标,定义为作为线性变换的迹
引理 6.3. 设,则 作为矩阵是可对角化的,并且其特征值都是单位根。
Proof. 这是因为有阶数, 这表明,满足该方程的矩阵必然是可对角化的,并且特征值为的单位根。 ◻
命题 6.2 (特征标的基本性质). 特征标 具有如下基本性质
设,则
Proof. 由于的作用必然是恒等作用,它的迹当然是的维数。第二条是由于矩阵的相似不改变迹。第三条是因为与互为逆矩阵,故它们对应的特征值之和分别为和这里用到了 ◻
Properties
The sum, or product, of two characters of , is still a character of , since the sum is the character of the direct sum of the two representations, and the product is the character of the tensor product of the two representations.
Orthogonal Relations
If , for two -valued functions on , define We have the following
定理 6.3 (First Orthogonal Relation). , if and are characters of two irreducible representations of , then
引理 6.4. , let be the character of an -representation , be the character of the sub -representation . Then
Proof. where is a linear map indicated by the context. Note that therefore is an -module map and . ◻
推论 6.2. If , where are distinct irreducible representations, then If and is the splitting field of , then if and only if is irreducible.
The first orthogonal relation can also be stated as follows where is a set of representatives of the conjugate classes of . are the sizes of each conjugate class. In particular, if and denote , one has using matrix notations, this is where . It is easy to see that we have or written explicitly this is called the second orthogonal relation or column orthogonal relation.
置换特征标
Let acts on , we obtain easily a representation of on thus is a character. Since is a subrepresentation or a sub--module of , one can construct the quotient representation , and obviously Which gives another useful character of 21
Tensor Product
Powers of Irreducible Character
定理 6.4. Let be an irreducible character taking different values. Then any irreducible character is a component of one of the characters .
Character Table : Examples
We give some examples of calculating the character table of a given group .
例 6.3. To calculate the character table of , first note that it is easy to obtain the character table of
then, via the homomorphism we lift two characters of to characters of
since , we have . Moreover by the second orthogonal relation we have therefore . Thus
例 6.4. We wish to calculate the character table of , which does not have a nontrivial normal subgroup. First we identify the conjugate classes of . Note that the quotient is either or depending on whether .
Integrality
引理 6.5. Let is an element of order , then is a sum of -th root of units. In particular, this is true for all if is the l.c.m. of all orders of elements in .
Proof. If , then , the eigenvalues of will all be -th unit roots. ◻
推论 6.3. Let be a complex character, then is an algebraic integer.
推论 6.4. , with equality holds if and only if .
Proof. Under certain basis, will be a diagonal matrix, whose diagonal elements are -th unit roots. Therefore with equality holds if and only if , in which case . ◻
定理 6.5. Let be an irreducible complex character, then is an algebraic integer.
Proof. Let be a linear transform from to . Clearly it is also a -module map. Now Schur’s Lemma gives . Taking we have thus Now, to show that is an algebraic integer, note that is the restriction of on . An eigenvalue of will also be the eigenvalue of . Since is the eigenvalue of , it is the root of the polynomial with being the matrix of which is an polynomial of integral coefficients. ◻
推论 6.5. must be a divisor of .
Proof. which is an algebraic integer and also a rational, which must be an integer. ◻
Burnside’s Theorem
引理 6.6. Let be a sum of unit roots, with being an algebraic integer. Then or is a unit root.
Proof. Let be the minimal polynomial for over , be its conjugates. The Galois group acts transitively on them, let be the one such that . The number is also an algebraic integer since permutes the roots of , we conclude that is an integer. Now we wishes to prove that , to do so, note that . In order to establish similar inequalities for each , one needs to consider the field , where is the splitting field for and is some unit root such that . Since is normal, , is actually a splitting field for over . We extend every to an automorphism of , which sends unit roots in to unit roots in it. Therefore we have for each , consequently and so . ◻
诱导表示
我们通常希望用更小的群的表示来描述一个群的表示。这方面,最简单的考虑是所谓膨胀(Inflation).
膨胀
当,我们可以通过投射将的表示拉回为的表示: 这个操作称为膨胀 并且我们有是一个忠实函子。这是一个常用的获得较为简单的表示的手段。
限制
当有子群时,我们可以将的一个表示直接视为的表示,即通过合成 定义的作用。这个操作称作限制(Restriction) 从特征标的角度来看,限制不改变特征标:只需将限制在子群上取值即可。
诱导表示
诱导这个操作则是要从的表示构造出一个的表示来,也即把模变为一个模。这个构造比限制要复杂,但是想法是简单的:利用双边模和我们的胶水:张量积,我们将为配上一个系数,考虑如下的张量积 则由于可视为左右模的结构,具有的左乘作用 于是成为一个表示。可以这样来想象, 我们取一组陪集代表元,那么